高一上05-不等式
作者：心一 · 时长 31:10 · 发布于 2022-10-10
视频文字稿
大家好我们今天来继续学习数学距离上一个视频已经有点时间了我们今天这个视频会继续到这个第二单元也就是不等式那和之前的视频不太一样的地方我们先从一个小小的问题出发来看一看下面这个图它蕴含的不等式是什么我们可以猜一下当然这个图是可以动
比如说我们可以把它拉长变短然后这也是可以动的当然如果这么说的话其实我们并不能看出来说这是一个蕴含什么不等式因为它的可能答案是有很多的现在我们再详细-我们再更明确的界定一下比如说我们想要比较这个绿色的三角形以及橙色的三角形这两个三角形的面积之和和这个长方形OBLM他们的面积关系
那它们的面积关系之间就蕴含着一个不等式大家可以思考一下在后边的彩蛋部分我们会继续讲解这个不等式它到底是什么好那我们就进入今天的这个主题今天是不等式那内容还是分三部分第一个呢是讲不等式的这个定义与公理然后第二个是性质
第三个是两个拓展好那我们就直接进入主题首先是看不等式的定义与公理这个讲法其实和课本的讲法是不太一样的大家也应该知道我们在之前的这个课程中提过说建议同学们先看智慧教育平台的这个课程那我们的这个和智慧教育平台的课程讲法稍微不太一样
我们是采取定义公理这这一套所谓的公理体系来这个讲不等式好那我们先看不等式或者说不等关系的定义最直观的就是几何视角怎么定义a 小于b 呢其实就是说在数轴上a如果在b 的左边那么a 就小于b。等价的，注意这是等价的就是a 小于b 和b 大于a 它俩
是完全等价的所以以后我们再用这个小于号或大于号的时候的话是可以替换的好那这是几何视角来看不等关系那这个几何视角非常直观但是它可能并不能完全替代一个严格的定义所以我们再来看一下代数视角那怎么来定义a 小于b 或者b 大于a呢
它的定义就是当且仅当注意这当且仅当意思就是他和他是一个意思也就是说我们定义a 小于b 是用b 减a 是正数来定义的这是一个明确的定义形式化的来写就是b 大于a当且仅当这个是等价于对吧b 减a 是正实数或者b 大于a 当且仅当b 减a 是大于零
所以这个是定义就同学们以后可能比如说有时候要证明一个什么不等式a 小于b 当然这个a 可能是一个式子b 也可能是一个式子想要证明一个不等关系就可以回到这个最初的定义就只要证明它们的差是大于零即可那定义这就是不等关系我们说到这儿非常关键这个因为它是以后我们证明的一个基础的基础
然后另外一个基础其实就是不等关系的公理公理我们只有两个公理第一个公理就是如果a 和b 是实数那么下面关系只有一个成立也就是a 要么大于b，要么等于b 要么小于b，它只有一个成立不可能说a 是既大于这个这个b 然后又小于b，这是不可能的对吧这样我们说的这个大于都是严格大于或者严格小于所以这是第一个公理
那这个公理的话其实如果大家看过一点关于数理逻辑的这个历史的话会知道他是有一个自己的名字的那这个名字是什么呢这里给大家留个悬念大家可以自己去看一下好这是第一个公理那第二个公理这个就是我们这个对我们更实用的也就是正实数的和与积
还是正实数什么意思形式化的写的话就是这样就是如果a 和b 都是大于零那么这个时候它们的乘积大于零它们的和也是大于零第二个公理对于我们后面证明相关性质是非常非常关键的所以大家可以稍微理解一下这个第二个公理也就是说后边我们在证明所有相关不等关系的这些式子的时候都会回到定义与公理
也就是他们就是定义公理是我们后面证明所有这些东西的一个基础这就是所谓的公理体系就是它是一个基础我们承认他是真的我们也不再追问他为什么是真的我们只是承认他是真的好。定义与公理我们就说到这接下来就到了性质那性质我们会讲一系列的性质会把它分成两大类
第一类是基本性质所谓的basic-property，基本性质我们这儿只讲一个就是传递性传递性其实非常好理解怎么个意思呢就是大家比如说排成一排对吧我a 比你b 高b 又比c 高显然a 比c 高对吧这个是很简单的一个一个事实
但是我们还是来证明一下。怎么证明呢我们这儿证明只是为了让大家能够第一次或者说能够第一次稍微正式的体会一下这个用定义和公理来证明一个结论这个过程。大家后边慢慢会非常多的要经历这个过程所以我们先从这儿开始首先，由定义a 大于b，我们回到定义的话就是它a 减b 就是一个正实数当然你也可以把它写成a 减b 这个大于零你也可以这么写
a 减b 大于零对吧这个没问题那同样的b 减c 也应该是正实数好 那接下来由公理二，两个正实数的和还是正实数对吧这是公理二说的所以这个时候我们就可以把a 减b
它是一个正实数b 减c 也是一个正实数它们加起来应该还是一个正实数也就是它俩加起来应该还是大于零那化简一下负b 和正b 抵消最后就得到a 减c 是正实数那再回到定义，也就意味着a 是大于c 的这就证明完了。这个证明过程或者说这个结论其实非常简单大家一下就能看得懂
但是我们为什么还要花这么多的功夫来证明呢就是想要跟大家演示一下定义和公理体系它是怎么运作的就是我们要一定要回到那个最初的形式来就完全完完全全的把一个结论放到已知的东西然后在它的框架下来得出结论这个是这个证明或者说公理体系它非常重要的一个特点所以我们就是在这儿特意演示一下
那这个演示完了之后我们也可以通过几何更直观的这个形式来看一下这样我们用desmos 来演示一下比如说a 我们在最开始是不是提过说a/b 的大小关系其实是就是就是由他们相对位置来确定a 在右边a就是大对吧那显然这个时候我们的a/b 的这个不等关系是确定的首先a 在b 的右边
a 大于b，b 在c 的右边所以b 又大于c，那这么传递下来就知道，a 也一定是大于c，对吧不管你怎么移只要这个c 不超过b，这个关系就是永远成立的这是我们用几何的形式来演示一下这个传递性好那我们继续往后走接下来就到了最关键的运算性质这个其实也是我们的教材中重点强调
的性质首先最简单的我们先从加法开始加法的最简单的性质就是，如果a 大于b 这个时候同时给他俩加上一个c，还是成立的对吧不等关系还是成立的。那我们还是证明一下首先，还是由定义对吧a 大于b 那就意味着a 减b 是正实数或者你也可以写成a 减b 是
大于零的，对吧这是一样的然后这个时候我们就需要把整个这个式子变成一个相减的形式对吧就是以后我们要证明不等式你要证明左边大于右边你一般都是要把左边移到右边或者右边移到左边对吧然后来把他们进行化简化简之后发现c 抵消了于是等于a 减b。好了
证明完毕对吧这是很简单的好那对于这个简单的性质我们也用几何的视角来看一下那几何的视角它是怎样子的呢首先a 大于b 对吧然后同时加c，这个c 可能是正的也可能是负的但是只要他俩同时加就意味着他们会同时动
那比如说我们加一个正数它们就会同时往右走如果加一个负数它们就会同时往左走可以看出来我在移动的过程就是在演示a 加c 和b 加c 的这个情况可以看出来这个时候他们的差距是永远存在（不变）的所以就意味着永远有不等关系存在对吧这就是一个非常非常直观的演示
说a 加c 大于b 加c 好那第一个加法性质我们就说完了我们看第二个加法性质说a 大于b，c 大于d，那么a 加c 大于b 加d。那这也很简单对吧就是a 和c 都是属于那个更大的部分b 和d 都是属于更小的那个部分
那大的加大的显然是比小的加小的更大也是很简单的一个，直观理解是很简单的那我们也来证明一下还是类似对吧首先由定义，a 减b 是正实数同样c 减d 也是正实数那么这个时候我把它们加起来，两个正实数加起来还是正实数
对吧然后稍微处理一下注意看，我们上一步加的时候其实是加他的结果是这样的但是下一步我们就需要根据要证的结果，来把它重新整理我们把这个加c 挪到了这儿就是c 变到了这儿同时减b 和减d 变成了减去b 加d 对吧变到了这儿
那这个结果正好就是我们想要的对吧a 加c 和b 加d 所以这这样的话我们就稍微做了一个小变形就把要争的结果证出来了这是代数的方法我们也来看一下几何的这个方法就是用几何来看这个结果应该是怎样的这我们还是画了一个图对吧我们可以先看一下首先，a 和b 是确定的这个大小关系
比如说我们可以移一下对吧我在移的过程中大家可以看一下我在移的过程就是相当于是我在对a 和b 同时加一个东西或者减一个东西对吧但这不是关键c 和d 其实也是一样的最关键的是大家一定要观察这两个b 加d 和a 加c的值
就是我不管怎么移这个a 和b 以及c 和d，我们会发现a 加c 是永远在b加d 右边对吧那这个过程他有可能最后的情况是c 和b 以及c 和a 都是有比如说c 有可能是大于a，c 有可能是大于b，但不管怎么样不管你c 和a 以及d 和a 他们是什么关系这个b 加d 和a 加c 是永远保持原来的这个大小关系的
这个是最关键的这就是我们从几何的角度来看加法的这个第二个性质好嘞那有了加法就会有减法对吧我们注意在前一个加法的性质里面呢是a 加c 大于b加d，那么a 是加c 的对吧当时我们是a 和c，b 和d 组合
但是现在注意现在变成了a 和d b和c，也就是a 减去了一个小的东西大于b 减去一个大的东西对吧那我们还是形式化的证明一下首先a 减b，然后c 减d 对吧接下来把这两个加起来了对吧我们把a 减b 和c 减d 加起来但是注意，最终我们想要证的其实是
a减d 和b 减c 它们俩的关系所以这儿是需要进行改写的，我们怎么改写呢对我们把负d 和a 组合起来把把负b 和正c 组合起来于是就变成了a 减b，减去b 减去括号c，这两个本质是一样的对吧只是就是重新组合了一下但是我们已经组合出来我们想要的结果，最后
得到a 减d 大于b 减c 那这就是减法的性质这里特别想要强调的就是它和加法唯一的区别就是，加法的时候我们是a 加c 的然后b 加d 的但是减法就变成a 减d 和b 减c了 就相当于掉了个个儿对吧道理大家也应该能明白
好嘞那这个这一部分我们就讲到这里下来到乘法乘法的性质最简单的是，如果a 大于b，c一定是正数然后才能保证a c 大于b c。注意和前面加法的对比前面加法的时候我们是要求c 没有说他必须得大于零对吧c 可以是任意实数
那那个时候a 加c 都是大于b 加c 的但是在乘法这儿一定要要求c 是大于零的那我们来证明一下首先，还是由定义对吧a 减b 是大于零的同时，c 哦这我是不是写错了对吧所以这应该写哦没写错
这是正实数，c 大于零就是正实数对吧那公理二就是说的两个正实数相乘它还是正实数所以这之所以要求c 大于零是因为我们要回到正实数的那个公理上 那这个时候把它整理一下a c 减b c 就是正实数也就是a c 大于bc 对吧
这就是乘法的第一个。注意它和加法的这个区别加法我们是说a 大于b，c 呢是随意你随意我都有a 加c 大于b 加c 对吧但乘法一定要是要求正实数的好那我们再看第二个乘法性质这个时候我们注意它是类似于加法的第二个对吧
加法我们是a 大于b 同时c 大于d 推出a 加c 大于b加d 但是注意，这个时候要求a 和b 都是正的c 和d 也是正的才有这个结果那这个如果要形式化证明的话稍微复杂一点所以我们直接用一个几何的形式来证 我们来看一下它为什么是成立的首先我们把a 和b 放在x 轴上
那么a 和b 的大小关系确定了对吧他们都是正的并且a 大于b 那我可以拖这个a/b 对吧我a 一直变大然后呢b 你不能超过a，所以到这儿他就走不了了但是我可以变小对吧同时c/d 一样
那这时候我们就想一下a c 乘积是不是表示的这个绿色的面积而b d 表示的是这个中间的橙色的面积显然外框的面积是要大于内框的这个面积那也就证明了a c 是大于bd 那从这个，其实大家应该能够非常明显的看出来几何证明的方法或者说几何这个这种方式证明我们这个结论
是比代数的方法要直观很多的也简单很多的对吧好这是我们第二个乘法的性质那我们继续往下有乘法就会有除法对吧就像刚刚加法我们这也有减法我们再我们再注意一下a 大于b 大于零
c 大于b 大于零对吧这个时候是a 和d 相除b 和c 相除，恰恰类似于我们在减法那时a 和d 相减b 和c 相减对吧因为你这个时候是在做除法所以不能大的和大的配而要用大的和小的配，对吧那这个我们也就不证明因为它推理是类似的。乘除之后就是乘方
和开方那么我们这就直接给出结论就如果a/b 都是正实数那么它们的n 次方以及n 次幂（开方）还是继续保持这个原来的大小关系好那这就是我们整个不等式的性质其实到这儿的话这节课的核心内容就已经结束了我们来稍微回顾一下我们回顾一下这节课的内容首先呢，我们是从这个不等式的定义和
公理出发那不等式的定义我们讲了几何的定义对吧就是放在数轴上来看的话数a 如果在数b 的左边那么a 就小于b，或者说b 就是大于a的那用代数的视角来看就是b 减a 大于零那么b 就是大于a 的，这是定义接下来我们讲了两个公理对吧第一个公理是说三个关系中
它只有一个能成立第二个是说两个正实数的和与积 依旧是正实数那后边我们所有的性质都是基于定义与第二个公理来推出来的有加法减法乘法除法以及开方对吧大家可以回顾一下我们在讲性质的过程中
会尽可能的既用几何的方法几何的视角也用代数的视角来一起辅助大家理解所谓不等式的这些性质到底在讲什么以及我们如何证明它那这些方法大家以后证明其他的不等式也是可以用的好那我们就总结到这儿我们继续来看这节课的彩蛋部分好
彩蛋部分的第一个就是基本不等式也就是我们课内讲的所谓的基本/均值不等式inequality-of-a rith metric-and-geometric-means 他是代数平均值和几何平均值他俩联系他俩的一个不等式，具体怎么说呢，其实我们就可以通过比较面积来看。当然课本上已经有这个不等式。既给出了代数的证明也给出了几何的一种模型，比如说把
它放在这个圆里边来让大家理解但是我们这儿给了另外一种几何模型来帮大家理解这个均值不等式。怎么理解呢？首先我们在这儿假设这个o b 的长度是x，然后o m 的长度是y，oa 是一条四十五度的斜线，也就是它所在的直线是y=x。好那现在问题就其实很简单。首先我们看
三角形a o b 的面积。a o b 的面积就是一个等腰直角三角形对吧，它的面积就是二分之一x平方。m o n 类似对吧，就是二分之一y平方那我们再来看一下这个长方形ob l m。长为x 宽为y，那从 图上来看，我们来再动一下这个图。从图上来看，不管
你怎么移动长方形的面积是永远小于等于这两个三角形面积之和。最大比如说你看也就到这儿对吧，那其他的时候你就是小于它的。那当等于的时候只有x 等于y 所以我们最后得到的结果就是，它俩的和。好那这样的话其实我们就得到了
它俩的和是大于等于x y，那我们把它写出来也就是，二分之一x 方加二分之一y 的方，大于等于xy。我们把左边再写成二分之一的x 的方加y 的方大于等于x y 那如果再把它再重新写一下，其实就是二分之x 的方加y 的方大于等于x y。当然你也可以进一步把它写成比如说x 的方加y 的方大于等于2xy。这就是
我们课本所说的基本不等式那也就是均值不等式。当然有时候比如说我们不希望出现这个x方，于是就会把它重新写一下x方就用a 一个正数来代替再把x 方用一个正数a，y 的方用b来 代替，那么左边就变成了二分之a 加b。x 这个时候就变成了根号a，对吧，y 就
变成根号b，所以就是二分之a 加b 大于等于根号ab。这就是所谓的均值不等式这一个，我们知道这是两个数它们的平均值对吧，叫代数平均，所以才有一个arithmetic mean 就是这个东西表示的是代数均平均值，而这个开方根号a b 它是叫几何平均值，就是geometric-mean 所以我们才把这个不等式叫成
代数几何平均值的不等式好。那这样的话我们就彻底把这个搞清楚了。但是这儿我不知道就是学校老师会不会给大家补充一个知识点它的含义其实是可以进一步来理解的比如说如果我们固定这个他俩的和，那这个时候就意味着和固定的话他们的乘积就会有一个最大值对吧反过来，如果说他们的乘积固定了
他们的和就会有一个最小值我们先来关注一下，如果说它们的和是固定的那他们的面积就会有一个最大值那他就会引出来一个非常非常关键的一个问题在数学上叫等周不等式叫这个Isoperi metric-inequality 等周就是指很多图形我可以是一个三角形、四边形，然后五边形六边形
七边形八边形，甚至直接一直到圆所谓等周就是所有这些图形它们的周长是相等的。那刚刚我们可以看出来我们只用了两个变量，它们的长度是一样的这个固定的长度是固定的，意味着它的
周长是固定的。那如果我有很多个变量，那这个时候其实他就可以理解成是，在一个多边形里边，所有这些多边形他们的周长是固定的。当然我们就不用多边形，我们假设就用这个长方形有很多个长方形，比如说我可能是这么细长的，也有可能是这么稍微规整一点的这种长方形，他们的这个周长都
是一样的。现在的问题就是：他们的面积哪个最大对吧这个可能小学大家也接触过类似的问题那我们当时知道是他俩的这个边长长和宽越接近面积越大，它的原理从哪来呢 就是从这儿来。就是当你的周长是一定的时候，那你的面积是一定有一个最大值的
那个最大值在哪取得就是你俩非常接近的时候，所以这就是所谓的这个等周问题。那这个等周问题的话，我这儿列举了这么一个 关于它的历史，其实这个历史建议大家先可以了解一下。因为它挺好玩的，涉及到两个文明古国，就是迦太基是怎么创立，这个国家是怎么创立的
它是和当时的这个公主叫迪多，迪多呢当时为了逃避他所在的这个国家的可能的迫害就逃到了一个新的国家。跑到了一个新的地方在非洲，就地中海的南岸，然后他到那儿跟这个当地的酋长说，能不能给我一块儿地。酋长最后经过谈判跟他达成了一个协议
说可以给，但是呢我只给 你一块牛皮能覆盖的那么大的地方，然后真的给了他一个牛皮但是迪多她有自己的办法。他怎么办的呢她把这个牛皮剪成一条一条细的长条，然后再把所有的长条接起来，最后用
这个长条围出来了一个。因为他们当时在的那个地方是这样的就比如说我先假设这是一个地中海，她最初是在这边在这个他最初那个国家是叫什么，叫这个腓尼基。然后她乘船跨过地中海，逃到了这个地中海的这个南边儿，非洲大陆的北边，到这儿然后他到这儿之后的话，建立了自己的国家迦太基。她当时怎么办的呢？就用
这个牛皮绳然后绕着这个海岸围了一个半圆。因为这个时候她所能用的牛皮绳是固定的也就是周长是固定的，怎么办才能尽可能围出大的面积呢那就尽可能画一个圆，于是她就画了一个绕着这个海岸线围了一个半圆，尽可能大的半圆。这个时候围出的面积 是最大的，她就在这块地上
建立了自己的国家，就是迦太基 这就是关于等周不等式它的一个小故事。当然具体等周不等式本身是非常有趣的大家有兴趣的话可以继续找资料去学习一下。我也会把 这方面的一个小文章放在视频的说明下面。大家可以去看
这就是今天的内容。如果大家有什么疑问，可以在评论里边提出来好，那我们就到这里。谢谢