恒成立求参的多种方法
作者：GoFine数学 · 时长 19:00 · 发布于 2022-10-29
视频文字稿
做一道经典题目来一场思维旅行各位同学大家好我是高锋老师很长时间呢没有真人出镜和大家一起去讲点题目那今天呢咱们就来讲一个粉丝发过来的一个小题那这个题呢是一个恒成立求参的问题那粉丝的问题是这个题怎么用必要性探路去做
那今天呢咱们就尝试用多种方法去写一写这道题说f x 是这样一串式子如果说对任意的一个x 属于零到正无穷有这样一个式子是恒成立的让我们去求i 的一个取值范围好首先呢我们来看一下咱们的方法一好方法一呢我们可以去用同构式去写同构式那f x y 大于这串式子
我们首先呢给它代进去是不是刚好就写成e 的一个x 次方除以我们这个地方那个i 再减去我们这里方的一个ln x 然后呢再大于我们这地方的一个ln 那我们把这个式子给它做一下小小的小变形那我们可以写成e 的一个x 次方减去一个log i 次方然后呢减去我们这地方的一个long i 大于我们这里方的一个long s 那这里两边怎么去同构呢
我们来看这儿呢是出现的是x 减i 你这个地方呢是减去了ln 所以这里面少了一个x 我可以在两边呢同时加上一个x 于是乎呢整个式子是不是刚好写成e 的一个x 减去一个log i 次方然后呢再加上一个x 减去我们的一个log i 然后呢这个是大于我们的一个x 再加上这地方的一个x 那我们看这个东西呢是不是刚好写成e 的一个x 减去一个log i 次方
再加上我们这地方的long e 的一个x 减去我们的一个ln x 方它呢是大于我们这个地方的一个x 加上我们这地方的一个log x 显然呢我们可以去令咱们的一个右侧跟我们的一个那既然x 等于这一坨式子那整个式子是不是刚好可以等价成我们的一个积括弧x 减去一个log i 然后呢大于就少写错了这是g e 的一个x 减去一个ln 它大于我们这地方的一个g x 那g x 呢显然是单调递增
那所以这个式子恒成立肯定能推出来我们这地方的一个e 的一个x 减去一个log i 次方它呢是大于我们这里方的一个x 刚好是成立的那这个式子恒成立呢我们两边去取一下对数是不是可以写出来这个式子就变成我们的一个x 减去我们的一个log i 呢大于我们这地方的一个log s 所以我们从这是不是可以写出咱们的一个log i 呢是不是小于我们的x 减去我们
的一个log x 于是乎呢我们去令右侧等于我们的h x 那此时我们的ln i 呢是不是就应该小于我们这地方的一个h x 一个最小值那我们现在要做的就是求h x 的一个最小值我们去对它进行求导刚好是一减去一个x 分之一这个是单调递增它零点呢显然对应的是一个一所以这边负这边正它就先减后增
那所以呢我们是不是得到h x 它的一个最小值就出来了就刚好等于我们这地方的一个h 一h 一我们往里面一带就是一减去个ln 一就等于一的对吧那所以此时呢我们就得到反馈这方面ln i 呢就是小于一那显然我们从这可以解出来i 的一个范围就是属于我们的零到一之间这就是它的一个最终的一个结果那这种方法呢就是我们的一个同构式
的一个方法来我们再接着往下来走再看咱们的方法二方法二方法二呢我们可以去用引领点in 零点整体淡化怎么去做呢好我们首先呢可以把这个地方的i 给它乘过去你这个地方因为有log i 所以i 肯定是大于零的对吧好
我们把原式给它做一下小小的整理是不是刚好变成e 的一个x 次方减去我们的一个i 倍的一个log x 然后大于我们这地方的i 乘以ln i 然后呢移过去刚好减去一个i 倍的一个ln i 这个式子它大于零是恒成立的好那我们现在令这驮式呢为我们的那大f x 大于零恒成立大x 最小值大零就行了对吧
好继续咱们这里放了一个大f x 它的一个最小值是大于零的那于是我们这地方去求一下大f x 导数显然是等于e 的一个x 次方减去我们这地方的一个x 分之i 然后这个地方的i 是大于零的所以这个是单调递增x 分之一单调递减x 分之i 也单调递减但是前面有个负号因为整式是单调递增的对吧
好那我们简单画一下草图大致呢就是这样子我们可以看出来当x 趋向于谁趋向于零的时候整个式子趋向于负无穷x 趋向正无穷的时候整个式子趋向正无穷所以这样呢肯定是存在一个x 零的这边是负这边是正那我这个地方就不去找点
肯定存在一个x 零属于我们这地方的一个零到正无穷刚好使得我们这里装了一个大f x 零的一个导数刚好等于零的此时呢我们的x 属于我们的零到x 零的时候大f x 单调递减x 属于我们这个地方的一个x 零到正无穷的时候那么大f x 是单调递增的那所以这个时候呢
我们就可以得到咱们这个地方大f x 零呢就应该是大零了可是问题的关键来了这个x 零等于十我们是不知道的那怎么办呢我们就可以用引力链整体代换我们由咱们这个地方大f 等于x 等于零吗也就是说这坨是等于零我们从这儿呢可以解出来什么呢e 的一个x 零次方是不是刚好等于x 零分之x 还有什么呢
还有我们两边同时取一下对数刚好就写成一个x 零呢等于一个long i 减去一个long x 零好那我们从这个把log x 零解出来实际上就等于我们这个浪i 再减去一个x 一对吧那于是乎我们这时候呢可以给它带入到咱们的大f x 零所以就是影里面整体代换大f x 零带到这个里面有的e 的x 零次方
这个e 的x 零次方给它换成这个就刚好变成一个i 除以一个x 一对吧好再减去我们i 倍的一个ln x 零然后再减去i 乘以我们这地方的一个log i 那log i 呢是等于这一坨的我们不需要ln x 也需要ln 对吧那么ln i 移过去这里面谁要告诉谁是一个x 零再加上我们这个方程ln x 零就是这个式子
这个式子要干什么呢要大于零显然呢我们可以提一个多少提一个i 出来一个i 出来整个式子就变成多少呢x 零分之一再减去我们的一个x 零再减去二倍的一个x 零是不是就这个是答案a 那你i 是恒为正的所以整个是大零
就刚好是中括弧里面的内容是大零的所以呢我们再去另当另一个大g x 还有这样一坨那我们就要做的是求大g x 大于零的一个解集对吧那大g 导x 这时候呢等于一个负的一个x 方分之一然后呢再减去一百这个地方是再减去我们这地方的一个多少x 零分之二
所以整个式子是不是刚刚写成多少写成一个two 的括弧x 零分之一然后呢再加上个一的一个括弧的一个平方就刚好呢是这样一坨式子了那这一坨式子的话我们来看它是不是恒小于零连等于零都不行对吧那所以这个时候呢我们的一个g x 是不是刚好横式单调递减
那g x 可能是单调递减但是我们又可以看到咱们对方的g 一代进去是高于零的所以此时我们的g x 它大于零肯定能得到我们的x 零的一个范围就属于我们这个地方的一个实验零到一之间对吧零到一之间那x 零十到十一零到一之间我们的i 呢是不是刚好把这个地方乘过去
就刚好是x 零乘以个e 的一个x 零次方显然它在零到一上呢是单调递增的那所以我们从这儿呢是不是就得到i 的一个范围就应该是属于零到一之间这就是用以零点整体代换的方法去写那你需要去找出他的隐名点把这个式子去给他做一些合理的变形然后呢带入到我们的一个大方x 零
里面去做一个消元就行了好我们的第二种方法就讲到这个地方再接着下来看我们的方法三也就是同学问的方法叫必要性探路那必要性探路呢实际上呢首先你要找出探路点我们探路点呢通常是选择它的一个端点或者是零点或者是极值点的那这个题呢你看端点是零和正无穷
显然零是带不进去的正无穷也带不进去那这样呢肯定不能是端点验证那只可能是我们这地方的一个极致的验证可是问题的关键怎么去找出它的极致点就是这种方法的一个关键所在那怎么办呢我们知道几个点是满足什么呢是不是满足我们这地方大f x 等于一个零
还有我们这里放了一个大f 导x 这个东西也得等于零为什么呢你看它不是要大于零恒成立嘛而且它是在中间某一个点取的等号因为它大致应该是这样子的一种情况对吧哎下来呢在这个地方刚好就取得y 等于零的点然后再上去
所以在这个点呢刚好对应是一个极值点对吧那所以呢在这个极值点它的一个导函数值等于零同时呢它的一个函数值也是等于那我们就通过这个式子去找它的一个起始点嘛我们的大f x 还是咱们的小f x 乘以一个i 就是这个式子减去a 倍的y y 我们直接带进来吧
就是前面那个地方的一个大s 好那我们直接带过来就是e 的一个x 次方减去一个i 倍的一个log x 再减去一个i 倍的一个log i 这个是什么等于你的零还有它的一个导数它的导数是e 的一个x 次方减去我们这个地方一个x 分之i 这个式子n 个零可是问你的关键这个式子
它的根呢我们并不会减对吧所以这个时候怎么办呢一定是去开根那如果说你能猜出来就可以用这种方法去做那如果说你猜不出来呢那就不能用这种方法去做了是不是那我们猜根显然它有e 的一个x 次方还有我们这个地方log x 我们猜咱们x
等于一那i 等于一我们代到第二个式子里面显然这个时候呢i 是等于几i 是等于一那我们把这两根代入到第一个式子里面你来看一下就是e 减去个零减去一个e 乘以一个ln e 是不是刚好等于零的
所以呢确实x 等于一和i 等于一就是它的对吧那所以我们就知道探路点就是x 等于一那于是乎我们由什么呢由咱们这地方的一个大f 一它是大于零的我们代入到大f x 里面就刚好变成一减去i 乘以我们这个地方的一个log 大于零那换句话说这个式子它是大于零
所以呢这个是咱们这个地方e 是要大于i 乘以个ln i 的那于是乎呢我们确定咱们这个东西是等于一个i 好那现在我们要去研究斐x 它的一个导数对吧就刚好变成一个一加上我们这地方的一个ln i 那我们可以看得出来它是个单调递增的那当我们的i 等于多少n 个一分之一的时候
它等于零这边是负这边是正对吧所以呢我们可以得到它在零到一分之一这个地方是单调递减然后呢一分之一到正无穷这个地方呢是单调递增而且我们还可以看出来当我们的i 是属于我们的一个零到一的时候咱们的一个匪i 呢肯定是恒消
零那i 大于个一呢咱们这个地方的一个匪i 呢刚好是恒大于零那换句话说它的草图应该是这样子这是我们的f 轴这个地方是y 轴这个地方哎先减后增这个地方对应的是个e 的对值起来对吧这地方呢对你是个一那你现在呢一要大于它
我们来看咱们这个e 是谁你把i 等于e 带进去它实际上刚好对应是这个地方是e 嘛所以我们的e 大于这个的地方我们是不是从这儿可以得到咱们的一个i 的一个取值范围呢实际上就属于我们这一行零到一之间对吧好那就我这儿呢就有我们的看重点x 等于一呢得到i 的范围是零
到一之间但是呢这个条件呢只是它的一个必要性对不对这是它的必要性也就是说我要满足大f 大零必须要有i 是属于零到一之间的但是呢这个条件是不是它的充分性呢我们实际上还要去证明一下那怎么办呢往下就是要用我们的一个组员化实参把一个含串的函数给它转化成
一个不含串的函数就行了好那现在我们去令什么呢我们去令咱们的一个h i 是等于我们的一个多少呢大f x 好那我们把这个式子拿过来它是不是刚好可以写成什么呀写成好像不太好我们不能用它
我们还是用这个式子把这个式子代进去令大h 小h i 等于我们这个地方的一个f x 除以我们这个方程i 再减去我们的一个ln i 好这时候就刚好写成e 的一个x 次方除以一个i 再减去个ln x 然后呢再减去我们这个地方的一个log i 那我们这个地方的h i 这里面的i 是主元此时显然可以看出h i 它关于什么呢关于我们这地方的一个i 呢
是那我们现在h i 呢这个是大的原因是不是只需要使我们这地方的一个什么呀二单调递减呢这个地方刚好要最小值你这个地方呢i 的范围是零到一之间这个地方又取不到对吧所以它应该是h e 这个地方是大于等于一个零
对不对大于等于零就行那我们把e 带进去我们把它转化成e 的一个x 减去的一次方再减去我们这就放了一个log x 再减去个一它是大于等于零这里面呢x 属于我们的一个零到正无穷对吧好
那往下呢我们就只要去证这样一个无参的一个不等式成立就行了我把这儿直接给它擦掉了不要了那于是乎我们确定大h x 就等于我们的一个e 的一个x 减去个一次方再减去个log x 再减去个e 此时大h 导x 是不是刚好等于e 的一个x 减一次方再减去x 分之一这个是单调递增而且我们可以看出
大家去找一这个式子是不是告诉一个零的那换句话说它的好处大致是这样子这个地方是一这边是负这边是正所以此时呢我们得到x 属于咱们这里头那个零到一的时候咱们一个大h x 是不是单调递减那x 属于我们这地方的一个一到正无穷的时候那大h x 呢是不是单调递增呢
那所以这个时候呢我们的大h x 它的一个最小值是不是就是我们这地方的一个大h 一那大h 一等于谁代进去吧又大于零呢那所以我们这地方是不是刚好就有咱们这个地方的一个h e 就刚好打了一笔对吧那所以呢袁世就得证了
那最终呢我们依然是解出来i 的一个范围还是属于我们这地方的一个零到一之间那这种方法呢就是标清探路首先呢你是用大f x 等于零和大f 到x 等于零去找出探路点但是这个探路点呢你只能用拆分的方法拆出来之后往里没带那这个时候呢得到了i 的一个范围就应该是它的答案
但是这个答案呢只是证明它的一个必要性那下面还要去证明它的一个充分性怎么办呢可以采用主元化实参把这样一个含参的一个不等式给它转化成不含参的不等式然后去证明这个不含参的不等式是刚好成立的就行了好这就是咱们这道题的一个三种方法分别是同构式法以零点整体代换的方法
以及我们的必要性探路的方法那我们今天呢就讲到这个地方那如果说你喜欢老师的视频千万不要忘了给老师点赞转发关注拜拜