8秋 第5讲 习题讲解
作者：DMcute · 时长 35:53 · 发布于 2026-10-09
章节
- 00:01 习题1：完全平方和差转化
- 01:09 习题2：代数式求值转化
- 05:37 习题3：代数式的配凑与求值
- 07:49 习题4：完全平方式的判定
- 09:22 习题5：利用配方法求值
- 10:29 习题6：多项式的最值问题
- 13:02 习题7：配方法解决方程组问题
- 15:34 习题8：周长与面积条件下的求值
- 16:39 习题9：代数求值
- 17:07 习题10：代数式的综合运算
- 18:06 习题11：互为倒数条件的代数求值
- 19:37 习题12：整式运算与化简
- 26:43 习题13：配方法判断三角形形状
- 28:54 习题14：利用配方法证明正数
- 31:12 习题15：配方法解决代数综合问题
视频文字稿
习题1：完全平方和差转化
第五讲的习题讲解嗯第一道题他给了你这样的左右两端一个是谁加谁的平方一个是谁减谁的平方咱们上课讲过这个知识我们说A 加B 的平方它和A 减B 的平方差了多少左边比右边应该多了4个AB 是这意思吧所以我们经常会这样写A 加B 括号
外的平方可以等于A 减B 括号外的平方再补上4倍的AB 所以这其实就是完全平方和跟完全平方差的一个转化对吗那现在同样的道理这是谁加谁的平方这是谁减谁的平方你后面加的A 就得是那个4AB 吧这个AB 指的是什么
指的是前后相乘是这道理吧所以我们看一下前后相乘5A 乘上3B 等于什么呢应该等于15倍的AB 那你再来4倍呢那就那就是60倍的AB 因此这道题要选择哪一个选项选择B 选项嗯
习题2：代数式求值转化
第二个问题已知这个等式问你圆圈123这里边正确的有哪一个那我们看一下呗你已知这个东西能不能求出X 方加上X 方分之1的值呢是能求的吧我们其实可以把它进行一个转化你会发现啊这个X 方加上X 方分之1
它其实可以写成X 加上X 分之1的平方再减掉2吧这是源自于哪一个知识啊源自于我们学习过的A 方加B 方可以等于A 加B 括号外的平方再减掉2AB 是这样的一个原始知识吧那有同学就说了说老师这是2AB 这怎么变成2了你自己看自己看两倍的X 乘X 分之1
它俩互为倒数当然等于一对不对所以就看你能否把这个知识想起来并且用在这个题目上所以把这个数带进去就是三的平方再减掉2自然就等于7因此第一个说法没有任何的问题再来看第二个说法说我已知X 加上X 分之一得几
我能不能求X 减掉X 分之一得几呢是能球的吧咋球啊我没有办法立刻求出X 减X 分之1但是我能求啥我能求X 减X 分之一的平方得几为什么如此说呢因为它可以写成X 加上X 分之1的平方在哪里啊减掉4有的同学到这又懵了说老师
你这个逻辑这又是源自于哪这又是源自于哪个知识源自于我们讲过的A 减B 的平方可以等于A 加B 的平方再减掉4AB 那你自己看这是不是一回事啊对吧这是咱们聊的完全平方和与完全平方差的转化它俩之间差了4个AB 对吧那现在你把数带进去吧你已知这个东西等于3那就是三的平方再减掉四等于5
有同学一到这儿说老师那2号肯定不对2号确实不对但并不是因为这不对X 减X 分之1的平方等于5那好如果我不要这个平方我开掉这个平方呢有推道老师那就是根号5嘿嘿
2号又对呀咱聊过一件事儿如果A 方等于4那A 是等于2吗A 是不是要等于正2对吧你去开一个平方开出来的结果都要带正负吧所以满分答案应该是正负根号5所以2号就不对那么继续第三个说法说
那么2X 方减6X 等于2说老师这是哪来的呀咱们导一下这个算式啊你已知X 加X 分之1是等于3哎那我用这个已知条件能推出这个事儿吗马上发现说这个圆圈三啊多了个平方那也就相当于在X 的基础之上你得
再多乘个X 对吗那我对这个等式进行处理我让等号两边都去乘上X 就会变成一个X 的平方加上一等于3X 对白那现在你会发现说哎三号这个等式呃左边是X 含有X 的项右边是常数那好
我把我这个等式也进行这样的处理我做一项X 方减方减3X 等于一说老师那这个三号这是有两倍呀有两倍的X 方啊那我怎么办我再看看等号两边同时乘2得到什么呢2X 方减6X 等于2你自己看你对已知
条件的这个等式进行一步又一步的合理操作有没有得到圆圈三这个结果啊得到了因此3号就是对的所以选项就是B 一3都可以第三个问
习题3：代数式的配凑与求值
题这个问题我们上课也讲过吧你要想把它玩的简单一点可以来个援把它设为A 把它设为B 那这道题就变成了什么就变成了已知A 方加B 方等于一让你求什么呀让你求A 乘B 等于多少多少那你会发现一个事儿已知A 方加B 方得一能直接求
AB 吗不能你缺个条件缺个什么呀你要么得知道A 加B 得几要么得知道A 减B 得几我们上课做过这种题吧那现在就是你的A 是这个B 是这个A 加B 的结果是个常数啊还是A 减B 的结果是常数啊你看到这是N 这是个负N 那肯定相当于A
加B 的结果你是知道的对吧N 减N 直接抵消掉了就变成一个负的2015加上一个正的2014也就变成1所以这道题就相当于已知这两个条件让你去求这个这个问题简单不我们上课聊过吧这三类条件是知二求一的那你现在明明知道二了想求一他肯
定是能求所以接下来就看你怎么去操作了AB 等于什么呀怎么用A 加B 和A 方加B 方求出来呀你会发现它可以理解成是A 加B 括号Y 的平方是减掉A 方加B 方好好分析一下这两个括号做了减法之后得到的是1
个AB 还是2个AB 啊是2AB 因此你还要再去除以2嗯所以截起来你就代数呗A 加B 得负一负一的平方就是一对吗你减掉A 方加B 方的结果是一那就再减11减一再去除以二等于什么呀等于0所以AB
的结果出没出来出来了选择B 第
习题4：完全平方式的判定
三个问题说这是一个完全平方式啥叫完全平方式就是整个算式可以转化成一个完全平方转化成一个括号的平方除此之外啥也没有这就叫完全平方式那么你自己看如果这个东西可以转化成完全平方式那好啊你就看呗
任何一个完全平方式一定带有着一个东西的平方还得再加上一个东西的平方然后再加上一串东西对吧那现在你来看这个式子里边给没给你俩平方啊给了呗9X 方是谁的平方是3X 这个东西的平方16Y 方是谁的
平方是4Y 的平方那如果这是一个完全平方式的话好我是不是应该中间得或加或减一个什么2AB 吧那AB 指的就是前后两个平方的底数是这意思吗那所以你看吧3X 乘4Y 这是多少12XY 那两倍呢
就是24倍的XY 所以你要懂中间一定是或加或减1个24X Y 才能使得这个算式是一个完全平方式所以到这这儿你的负M 是吧就得等于正24吧那反推M 它一定也是正24所以选择D 选项嗯第五个
习题5：利用配方法求值
问题把这个转化成这个的形式让你去求A 这是我们讲过的配方吧对配完方之后最后剩个零头零头就是这个A 那我们现在就配呗X 方加4X 得配几才能整出平方啊得加上个400对吧那你
加4平白无故加4最后得给人家再减4对吗所以其实你为了配方要对原算式进行一个细微的处理就是把它写成X 方加上4X 加上4这是为了配方你给拿来次那减掉4呢是为了把你做错的这个事给还原回去但是不要忘记
后面还要照抄个减一这是原本算式的代所以这三项我可以合成X 加上二的平方接下来减4又减一相当于总共减5因此你发现配完方之后最后剩的是个负然后这里是个正A 说明这个A 的等于几啊A 就得是这个负才行所以选择C 选项第六个问题
习题6：多项式的最值问题
嗯不论XY 是什么实数这个东西的值永远啊不小于不不小于看到这种选项引为那边配方嘛因为我们知道如果你配了一个方再加上一个常数那你就会发现这个算式的最值就能求了对吗那你配呀有同学到这儿
说老师我开心我看到X 方加Y 方我就想哎呀X 方加Y 方我配个2XY 这不就能怼出平方了吗但是你得往下想如果你自己凭空空造出一个加2XY 那
你为了把你的错给还原回去你得减2XY 结果呢后面的题目还加了个2X 还减了个4Y 还加了个7你自己看前面这个东西确实能配成方可是你后面这一串东西是常数吗不是常数吧你都不是常数你怎么能从这ABCD4个选项当中找出正确答案呢对吗所以
立刻发现不行当这个算式里边没有给你X 乘Y 这一项你就没法让X 方和Y 方放在一起去配平方所以怎么办呢我们上课讲过你不能一起就分头行动X 方它加2X 再加一这能不能凑出个平方能吧那
好你自X 方是现成的加2X 也现成的呃加一是你自己弄出来的所以你减一对吧那继续那Y 方减4Y 我再配一个常数也能配出方吧我再加上一个4可以吧这就是
Y 减二的平方对不对那同样道理你加四是你自己弄的所以你要再减四给还原二回去接下来题目里边还有一个加常数加7写上去然后把算式写成平方X 加上一的平方加上Y 减二的平方然后你看看有哪些常数是你后
面要追求的14和正7那这仨东西合在一起就是啥呀是一个加2因此这个东西大于等于0这个东西大于等于0两个大于等于零的数再加上一个2说明啥说明最后的这个结果永远不可能小
于2因此选择A 选项第七个问题已
习题7：配方法解决方程组问题
知这个让你去求这个这种题目就是两套逻辑第一套逻辑就是你能否通过已知条件的这个算式给它直接转化成跟3X 减2Y 相关的这种形式如果转化出来了那自然就知道结果那么第二套逻辑就是你能否通过前
面的已知条件把X 跟Y 这两个未知数通通求出来如果求出来的话最后的结果就也是已知的所以我们这道题走哪套逻辑啊肯定要走第二套逻辑为什么因为你3X 减2Y 还来平方最后得拆出9X 方得有4Y 方而你原本的这个已知条件里面只有X 方加Y 方你能想办法让他俩同时说一个一个
扩9倍一个扩4倍在我不考虑后面这这这一串东西的情况下你都办不到这件事吧那更何况后面还有一串东西呢所以这道题目我们上课其实也做是也做敏感性强一些的同学就知道我一定得配方因为这个平方很好配X 方是现成的减掉8X 那我如果再
加上1个16这是不是能够凑出X 减4的平方对吧当然题目里边没有加16那你加完16再减16同样道理一个外方是现成的减掉12万也是现成的我再补上1个36这就是Y 减六的平方吗对吧那同样道理没有36你给弄个36
所以要再减掉36最后不要忘记题目里边还有一个加52这样的话这个算式仍等于0那我们接下来把这个凑出的平方写下去X 减4的平方加上Y 减6的平方然后把我们填出来的东西以及最后
从来没用过的东西放到一起去你看看能不能抵消减10减16减36再加52抵消没抵消了吧所以就相当于这是0因此0零型问题出现立刻就得到X 应该等于4Y 它得等于6X 跟Y 都出来了那么3X 减掉2Y 的平方就也能求了括号内3乘4减掉2乘
6发现啥了得0那零的平方还得0所以选择B 选项第
习题8：周长与面积条件下的求值
八个问题已知周长是14面积是10你得会读这个条件周长是14说明A 加B 等于14吗A7两倍的长加宽才叫周长对吧继续那面积等于10面积就是长乘宽说明AB 等于
10所以接下来让你去求A 方加B 方就说到这儿我又忍不住跟大家聊了上课咱说没说过这三类条件知二求一说过这话吧你都已知俩了第三个肯定能求那你求吧A 方单纯的加个B 方怎么能用这俩条件弄出来
呀我我可以把它理解成是A 加B 括号外的平方再减掉那个2AB 这样的话就只剩下A 方加B 方了那么现在把数据带入进去7的平方减掉2乘10也就等于49减20等于29第九个问题还是那
习题9：代数求值
句话吧这三类条件知二求一你已经知俩了那第三个肯定能求A 方加B 方可以等同于A 加B 的平方减掉2AB 对吗代数三的平方减掉2乘2也就是9减4等于5这是第九个问题嗯第十个问
习题10：代数式的综合运算
题已知这俩让你去求第一个算式那你就往他俩身上去靠啊首先呢真呢3A 加3B 我提取个3这就叫做3倍的A 加B 对吗所以都是现成的A 加B 得2那三倍就是6AB 等于1那6减一等于几啊等于5第十个问题的第一个空就说
完了那么那第二个空呢想求A 方加B 方这个问题做了不止一次了A 方加B 方等于什么等于A 加B 的平方减掉2AB 代数带进去二的平方减掉2乘上1也就是多少啊二二得44减掉2就是4加2也就等于6这是第十个问题
习题11：互为倒数条件的代数求值
第11个题已知这个让你去求这个我们上课也在聊啊就当你看到看到互为倒数的情况出现的时候说两个互为倒数的数候相加等于几70隐藏的条件就是这如果是A 加B 等于5的话那么AB 就等于一对吗前一个数
是A 后一个数是B 前后两个数互为倒数的时候那它俩的乘积不用题目去说你自己也知道吧所以这仍然是这三类条件已知两个去求第三个那看看哪些同学你已经做了这么多类似的题目了到现在还回过头遇到他就头疼过来听讲解了那你就要格外的去注意了你要把这个题好好的
琢磨琢磨我们分析一下呗X 方加X 方分之1它可以等于X 加X 分之1的平方再减2它的逻辑就是A 方加B 方等于方等于A 加B 的平方减2AB 它就是这个逻辑所以直接代数吧就是五的平方减掉2也就是25减2等于23第十一道题并不
难第十二问题第一问
习题12：整式运算与化简
已知这俩求它俩非常非常经典的固定问题先求第一个X 方加Y 方等于什么呀等于X 加Y 的平方减2XY 你就是一个代数问题也就是17的平方减2乘60这数很好算的17的平方啊289减掉120等于多少等于169结束战斗那第二个空呢X 减
Y 的平方平方它是能用X 加Y 的平方推出来的吧我们一直在聊X 加Y 的平方比X 减Y 的平方的多了4个XY 所以你就再减掉4XY 就可以了所以17的平方减掉4乘60等于289减掉240也就是多少呢49这俩问题并不难啊这是第十二题的第一个空那么
继续再来看第二个空第二个空他问你说化简求这个东西的值其中27的平方等于A 的6次方等于9的B 次方那很明显最后这个事儿是不是让你去求AB 对吗咱分析分析啊27的平方它等于A 的6次方你说老师这我这个A 得
几我咱咋分析很简单你就看看你的等号左边能不等号左边能不能引弄出6次方如果等号左右两端都是6次方的话那俩底数就相等吧你就弄呗27它27的平方要想变成6次方谁的平方是6次方得是三的3次方的平方对吧一个
东西的3次方我再来个平方这样的话是不是可以理解成这个东西的23得66次方呢对不对那现在的问题就是2次方有了你这个27能不能写成3次方好像可以27是不是等于三的3次方所以它就相当于是三的3次方的平方也就是三的6次方等于A 的6
次方所以除没出来A 得几啊A 就得三了多开心的一件事儿那么继续再分析A 若果是A 读三的话嗯那我必得奖你就想你就想吧那27的平方等于9的B 次方哦我要想求B 那我应
该把咱俩底数变得一样对吧那我这个27琢磨琢磨它可以写成3乘9作停吧对吧等于9的B 次方那也就是啥三的平方乘上九的平方等于9的B 次方那现在好像也推不出来B 那
这个时候你看三三得几三层得9那就相当于是9乘上9的2次方等于9的B 次方1次方乘2次方就是3次方吧所以9的3次方等于9的B 次方B 出没出来出来了所以咱们班一定有同学你在做题的时候也也觉得自己思路非常清晰但是你发现这个题目里
边是俩答案一对答案的时候发现不对老师为什么为什么答案里边多了一种答案呢你知道差在哪儿吗插在这儿你的AB 里边B 肯定是确定的因为9的3次方只能等于9的3次方可是你前面就不一样哦你注意这个指数6次方是奇次还是偶次是偶次的如果出现偶次幂我
们讲过啥事我们讲过这个底数的正负无所谓吧无所谓是啥意思呀就是底数是正还是负最后结果是一样的所以你的A 只能等于3吗A 是不是也可以等于复杂的所以这道题才有俩答案A 有两种情况所以它跟B 这一种情况能做出
两种搭配来这是我们通过题里的这个AB 的信息啊推出的AB 的值那么接下来我们去看他所说的化简啊有人看有人看到这儿上来就把括号一拆发现了我日我这道题我做了10分钟哐哐拆括号框框合并你需要那么麻烦
吗不需要啊你眼睁睁的你看着这有这有他俩一样这有个它这有个它它俩一样这是方这是方这还是2这不是非常经典的A 方加B 方减2AB 吗对不对那所以啊
A 方加B 方减2AB 可以转化成什么A 减B 的平方啊这不是你学过的完全平方差吗对不对所以它就是你完全平方差里的那个A 它就是你完全平方差里的那个B 那你把它转换成A 减B 的平方应该是什么呀简单写一下原式就等于
2A 加B 这个括号减掉A 减2B 这个括号的平方是能转化成这个样子那现在中括号里边括号里边好像是能化简的它可以理解成是2A 加B 减A 加2B 对吗那有没有能合并的呢2A 减A 等于A 加B 加2B 就是加3B 它是这个东西所以再结合着你之前求出的AB 原式的值是
多少就很简单了吧那你就分类讨论呗当A 等于3B 等于30原式就等于3加上3乘3的平方也值多少144吧那么当A 等于3B 等于30原式就等于33加上3乘3括号外的平方方
也就多少啊36这才是题目里的那两答案看看谁在这儿是鱿鱼对吧这个正负少讨论了一种导致这个题目扣了一半的分儿这样的同学请你引起重视嗯第13个问题这问
习题13：配方法判断三角形形状
题就简单了他让你去判断三角形的形状你想判断形状你就得求边儿那这个里边给你的东西有A 有B 有C 又有AB 又有BC 还有A 方B 方C 方这是让你干嘛那你配方呢对吗所以啊咱先把原式的括号拆
开A 方加8B 方加C 方减4AB 减4B C 得0配呗一个A 方方那这里边你把现成的减4AB 弄过来那接起来要加上多少是不是要加个4B 方才能配上这个方那么同样道理啊你有一个C 方我把这个减4BC 现成的弄过
来那你接下来是不要加上多少多少倍的B 方啊得加上几倍的B 方才行啊4倍的B 方所以你发现一共8B 方刚好被你分配成两个4B 方正好不用你再凭空的再加上去然后再给它减掉还需要干这事儿吗不需要了所以接起来写吧就是A 减2B 的
平方加上C 减2B 的平方等于0这又是00型问题呗所以我们会发现只有一种情况A 等于2B C 等于2B 对吧你得保证俩平方等于0最后的结果才是0那这两个平方等于0那就只能是A 得2B C 得2B 对吧那么
A 和B 都等于同样数量的B 说明什么什么A 得C 呀我为什么一定要得一下A 得C 因为你要判断三角形你知道说老师我知道这是等腰三角形等腰三角形的证据是什么证据就是有两条边的相等所以必须得写上这一步因此三角形ABC 是等腰的三
角形完毕这就是第13个
习题14：利用配方法证明正数
问题第十四题说无论取啥值都是正书就这种题只能用配方去玩吧对吧我们讲过你有A 方有B 方然后呢中间还有一些零罪然后让你去看它的永远是正数那很明显就是配除若干个平方然后再加上常数这
个常数是个正对吗那就那玩一把能配吗有X 方有X 方有Y 方你自己看后面有X 乘Y 的选项吗没有这说明什么这说明你不能把X 跟Y 放到一起去配方他俩只能单独行动上课讲过吧能玩吧单
独行动的话那这事儿不就好说了有一个X 方然后减2X 是现成的对吧这都是现成的东西我直接使用那我再缺个啥缺个常数项吧我再加个一是不是就行了就能凑出X 减一的平方啊那加一别忘了
还再减一因为原本没有这个加一继续现成的外方现成的加12万那相当于我还得再加一个常数6的平方加上个36这样的话就能把它写成Y 加6的平方对吧同样道理原本没有36你要减36最终一定不要忘记再把题目里边原本
有的常数项加一块去接下来能凑的方心写上去他仨能凑平方X 减一的平方这仨东西也能凑平也能凑平方就是Y 加6的平方这里减一这里减36这里又加上个40合到一起去是什么呀是加上3所以呀马
上就发现哦原来的算式能转化成两个平方再加3而两个平方都是大于等于零的吧所以这话怎么说呀因为第一个平方大于等于0第二个平方也大于等于0所以两个大于等于0的时候又加上个3这一定是正数吧随原是必
然大于点因此值都是正数对吧无论XY 为何值啊这个算式的值都是正数就完事儿最后一个问
习题15：配方法解决代数综合问题
题最后一个问题就是看起来呀好像若是太难了有ABC 还有MN 哎呀最后让我去去去是想什么办法求下面的代数式的值最简单数式的值最简单请求出how 麻烦呢可是你仔细观察你怀着一个冷静的心去观察你会发现A 的前半部
分B 的前半部分C 的前半部分咋地一模一样的那它们之间的区别就在于乘数的部分不一样所以说这种情况说能求出啥了呀能求出它们互相之间的差吧比如说A 和B 它俩差几啊差2那B 和C 之间的差差1所以这相当于在暗示着你能求出A 减B B 减CA 减
C 想求谁俩的差你都能求老师我到底要求谁俩的叉啊你先别求你先看看你后面的这个式子这个式子经过你的化简你需要谁的差你再去求谁的差反正不管求谁的差你都会求对吧这就是冷静读题的好处那么接
下来去看后面后面这个事其实有点麻烦很多同学可能就想不明白老师我后面这个东西A 方加B 方加C 方减AB 减AC 减BC 嗯这能干啥呀我好像确实能知道A 减BB 减CC 减B 这是两两者之间的差可是我想求这个东西
需要求他们的差吗需用得着A 减B 的差吗用得着B 减C 的差吗用得着有平方向还有两个字母相乘的项这难道不是在暗示着你去配方吗那如果你要配方的话现在你看看这个数量够不够举个例子我如果需要A 方加B 方拿他俩配方的话是不
是得来个减2AB 可是你只有减掉解AB 你只减了1个AB 而你又会发现如果A 方加B 方假如说人家真的给我2AB 了那现在我A 方加B 方减2AB 真的凑出平方了可是后面的C 方和减AC 和减BC 我也用不上而这个时候你就想明白了
明白了我既然有A 乘B 有A 乘C 有B 乘C 是不是在暗示着你AB 之间配个方ACC 之间配个方BC 之间配个方啊没错吧那问题来了AB 之间配个方你得有个A 方有个B 方同样道理下面他俩配方得有个A 方得有个C 方同样道理第三
组配方你得有个B 方得有个C 方相当于这里面需要两个A 方两个B 方和两个C 方也需要2AB2AC 和2BC 可是你这里通通只有几个你需要的东西各个零件都只有一个所以这个时候怎么办呢扩两倍不除以2倍扩两倍我把都变成
两倍的东西所以原式就可以等于2A 方加上2B 方加上2C 方减2AB 减2AC 减2BC 然后再乘上个2分之1现在现在括号里边不就可以配方了并且配完之后就都是两个字母相减的那种平方你也就能够用得上我们最开始分析的这个条件了对不对那就写吧2分之1代大A 减B 的平
方加A 减C 的平方加B 减C 的平方所以接下来你就看吧因为A 等于啊这个B 等于这个C 等于这个对吧你把这条件抄下来我就不在这写了啊所以我们能够得到A 减B 的结果是出来的吧加1加3他俩
做减法等于2那么A 减C 等于几呢这是加一这是加2正一减正2等于1那么B 减C 等于几呢这是个加3这是个加23减2等于1对么所以原是就可以求值了等于什么呢2分之1倍的分之1倍的二的
平方加一的平方再加一的平方嗯2分之1倍的4加