菱形的面积和高问题
作者：Mr. Wang · 时长 19:21 · 发布于 2024-04-29
章节
- 00:00 菱形问题预备知识回顾
- 06:11 菱形面积与高的解题公式
- 10:02 菱形几何典型例题解析
视频文字稿
菱形问题预备知识回顾
同学们好同学们有没有发现一个问题啊就是我们现在正在学习的特殊的平行四边形里面菱形呢很喜欢出现在小厅里面那么这是为什么呢如果说你要对这个菱形它的性质有所了解的话那么你会发现菱形它和我们等腰三角形当然这里也包括等边三角形还有我们说的直角三角形它们的关系非常的紧密所以说菱形的话它是可以作为一个几何的综合题
去考察那么它的这个涉及到小知识点呢会比较多所以它容易考啊容易在这个小题里面出现比较灵活对吧嗯所以我们今天呢就专门来讲一个知识点就是菱形里面涉及到的面积问题还有我们求这个菱形的高或者是它的边的问题嗯如果说你现在对这个问题呢不是很熟悉
或者说你刚好对这个质量有所盲区的话那么我请你认真听一听看一看小姚老师讲的这些几点解题心得是否对你有所帮助能否达到茅塞顿开的效果可以的话那么请你点赞收藏一下平时呢可以多看几遍再练习练习好吧我们一起来看一下第一个啊预备知识首先三六九三角形中我们三边之比
大家一定要清楚他们的关系比如说我们把这个较短的边我们把这个较短的边作为a 的话那么它的这个斜边因为三六九的话三十度对边的斜边一半所以说反过来就是两a 我们可以利用个勾股的话可以求出它的这个直角边的话长的直角边就是三a 方开方出来就是根号三a 因为这个a 啊它是对应的是我们三六九直角三角形的一个边我们说这个边是可以可以随便互换的
啊所以我们的三边之比的话就是从最短的边到长直角边到斜边也就是一比根号三比二这个比我们一定要清楚一比根号三比二所以说如果我们现在题目中它给了你一个较短的边的话啊就是我们给了一个短边给了一个短边首先我们马上就能够把鞋边求出来
啊斜边是的两倍对吧旅日短边我们令它为a 的话那么斜边就是二a 我们说的这个长的直角边呢是它的根号三倍这就是根号三a 当然我们也可以反过来啊如果说斜边它知道是a 的话首先我们这个短边啊就是我们说的这个短的直角边短的直角边那么它就是一半就是二分之一a 因为这个长的直角边呢
它是这个短边的根号三倍所以就是二分之根号三a 这是我们第一个三六九给我们的一个必要的掌握的知识点第二个是等边三角形高还有面积它与我们的边长有何关系啊比如说我们先来准备一个等边三角形那么把它的这条边作为a 的话作为它的高其实我们不难发现啊这个地方是不是又把它平均呃又把它分成一个三六九三角形是不是三六九只是说它的下面这一个底边就变成二分之一
a 所以它的这个二分之一的话那么就高就出来了呀根号三倍所以就是二分之一乘以根号三a 也就是二分之多少二分之根号三a 二分之根号三a 这是我们的高好那么面积的话因为它是乘以高二分之一底乘高所以底边是a 的话高是二分之根号三a 那么你把
它合起来其实就是二分之根号三a 方对不对啊所以这两个数据非常重要啊等边三角形我们求高就是二分之根号三a 那么求它的面积的话就是四分之根号三a 方不要记错了第三个知识点就是我们说等面积法等面积法我们以前在上学期讲过这一个直角三角形的时候其实也会遇到这个等面积法
你像那个直角三角形啊直角三角形这是我们的短直角边这是长直角边这是我们的斜边啊我们一般会求这个斜边对应的什么斜边对应的高是不是等面积法就是说我们用两种不同的形式来表示这个面积那么再去求它的部分量就可以了你比如说我们把这个直角边作为我们的底和高的话
那么它的面积s 三角形面积就等于二分之一a b 同理那我们这个三角形也可以把斜边做底那么斜边的高作为一组条件所以就是二分之一c b 所以两边同时把二分之一约掉所以你要求的h 的话就等于c 分之a b 这个a b 就是我们说的两条直角边c 就是我们这个斜边所以你可以直接用这个两条直角边的乘积
去除以我们的斜边就能快速的解除我们这个斜边对应高举个例子啊我们常见的勾股数三四五对不对那么你要想求斜边的高的话所以h 就等于五分之三乘以四所以就等于多少五分之十二这是我们的第三个知识储备第四个就是直角三角形斜边中线与斜边的关系这个是我们在菱形上面讲的啊菱形上面讲的直角三角形里面呃
讲这个矩形的时候我们讲到这个斜边中线嗯斜边中线的话它是等于我们斜边多少了斜边一半啊斜边中线是等于我们说的斜边的一半啊所以这里会创造出三条相等的线段啊三条相等的线段这里一条对吧因为它这个地方是一条这个地方是一条这个地方所以它有三条相等的线段啊不能搞错了
三条相等的线段这是我们前面的啊就是你已经学过的知识点你看一下这些知识点哪些是你会的哪些是你不会的不会的话那么你可以暂停或者是后退把它再看几遍啊看一下我的推理或者你自己在草稿纸上把它证明一下啊那么我们在解这个菱形的时候呢
有两个比较重要的知识点一个是等边三角形与菱形的关系
菱形面积与高的解题公式
第二个就是对角线和边来求这个菱形的面积啊或者是高啊大家有没有注意到啊如果说这个菱形它有一个角他是六十度或者是一百二十度的时候我们是不是说可以组成两个全等的等边三角形对不对既然是等边三角形的话那我们是不是就可以回到刚才这个知识点里面去啊h 等于二分之根号三a s 等于四分之根号三a
方所以说你看啊我们经常会遇到什么让你去求这个菱形的高那比如说他他给你把这个高画好了那么你是否想到一个问题啊这个高的话这个高的话其实啊我们把它移动一下把它平移一下我们把它移到这个位置来平到这个位置啊大家注意看你会发现一个什么问题啊当我们平到这个地方的时候其实这个菱形的高和我们这个等边三角形的
高是不是一模一样的呀对不对平行线之间距离速度相等嘛所以说菱形的高和我们等边三角形的高是一样的话那么也是等于二分之根号三多少二分之根号三a 二分之根号三a 知道吧好那么我要想求菱形的面积的话呢第三种方法啊
我们书本上介绍过菱形的方法有用底乘以高或者是这个我们下面要讲这个方法那么老师再给大家介绍另外一种第三种方法你可以先求出一个等边扇形当然这个是特殊的情况啊嗯等边三角形的话我们知道它是四分之根号三a 方对吧因为它有两个两个这样等边三角你再乘个二上去是不是算出来二分之根号三a 的平方那么这两个公式给我们一个什么信息呢
就是说如果题目中他告诉你它是有等边三角形怎么会告诉你三十度六十度一百二十度是不是只要有这些角那我们一定会创造出两个等边三角形所以你只需要菱形的边就可以了把菱形的边往里面套二分之根号三a 那么马上就可以求出它的这个高如果求这个菱形的面积的话你就是二分之根号三a 的平方代进去
就可以了啊好那么再说一下这个对角线和边来求菱形的面积啊我们知道这个菱形啊菱形它的这个对角线是什么关系啊对角线是垂直的关系是不是是不垂直关系啊好那我们把这个长对角线呢把它叫做a 嗯短对角线呢叫做b 所以说你现在如果说要
想求上面这个三角形的话那么就是二分之一a 但是这个高的话是短对角线的一半是不是乘以二分之一b 啊这是一个三角形因为它下面这个三角形跟它是一样的全等的所以我们再乘个二上去好这个二和二约掉就等于多少二分之一a b 什么意思啊就是说这个菱形的面积啊可以把它写成两条对角线乘积的一半
看到没有啊那么我们以前在讲那个平行四边形的时候知道平行四边形它的面积的话可以写成什么底乘以高此时的底是不是菱形的边呢对不对所以说菱形它的第二个公式的话那就是用它的这个边啊我们就把这边用c 来代替高用h 来代替所以就是c 乘以h 所以你像我们要想求菱形的高的话
怎么求啊我们还是用等面积法呀是不是因为你面积有两种表示方法一个是二分之一a 乘以b 还有一个是菱形的边乘以它的高所以那么h 就可以推出来它就等于c 分之二分之一a b 什么意思呢就是说你对角线乘积的一半这是我们的菱形面积求出来之后然后你再除以这个对角线的啊
求呃这个除以它的这个边就可以了啊因为菱形四条边都相等的呀就是你除以c 就可以马上求出它的这个明显的高啊这几个公式我希望大家暂停一下然后你自己把它整理在笔记本上再看一看记一记好吧好的
菱形几何典型例题解析
已经准备好了我们来一起做做上面的题目来一起砍瓜切菜啊第一个知识点就是三十度六十度一百二十度特殊角求菱形的高面积的问题啊我们用在用一下刚才的方法啊看看能不能快速解出来呃菱形告诉我们了对吧这是菱形啊菱形
然后呢这是对角线角a o a d o 三十度a d o 三十度的话这个三十度就说明这个是什么六十度因为菱形的这个对角线平分对角所以这个是六十度加上它两边相等是不是等边三角形出来了呀三角形a d c 是等边三角形好o a 等于角o a 等于二那么这一个三六九
是菱形的周长求菱形周长的话因为你三边是相等关系所以说我要先把一边求出来a c 因为a c 它是等于两倍的a o 的所以就是等于四一边求出来的然后你就把它再乘以一个乘以四四等于十十六所以选哪个选b b 好下一题我们
看一下呃边长是四并且呢有一个内角是六十度菱形的面积啊这是一个菱形它说边长是四然后呢这个内角六十度说明这是一个等边三角形对不对等边三角形然后求面积的话因为我们刚刚讲过公式的呃这个菱形的话如果它是个有六十度内角的话
它是可以组合成是两个全等的等边三角形面积啊所以说那么一个面积是四分之四根号三a 的平方所以两个合起来边减就是二分之根号三a 方啊把边长带进去二分之根号三他说这个边长是四所以就是十六啊化简就是八倍的根号三选哪个选c 下一题第三题
呃已知这个菱形啊这是这是我们说的前几天考的周长是二十四告诉你菱形的周长实际上就是想告诉你菱形的边是四呃这个二十四除以四所以等于几等于六好你那么菱形的这个边长我们已经知道
呃锐角六十度那又是等边三角形求菱形面积往往里面带就可以了s 等于二分之根号三a 的平方所以就是二分之根号三乘以三十六所以等于十八倍的根号三有没有单位啊没有单位我们就不写单位了啊第四题看看第四题呃菱形的边长是六
那么b a d 等于一百二十度b a d 一百二十度对角平分所以这个角是六十度所以这个角六十度好然后他说e f 分别在a b a b c 上啊这个涉及到折叠问题因为有折叠就是有对称啊有对称啊还有全等那么点b e 这个正好落在这个a d 的点击处并且e
g 垂直a c e g 垂直a c 我们这个角是六十度啊我把它放大一下大家来一起看分析我们来看你这个角是六十度的话那这个角六十度所以我们这个角是三十度而这个角九十度的话那么这个角是三十度对吧三十度那这里是不是有隐藏一个三点九在
里面对不对好回到我们题目里面来好我们看看还要求什么啊还要求什么呃他说求f g 啊求f g 求f g 好看看这个f g 怎么求看f g 怎么修f g 嗯好简单因为我们要想求这个f g 的话这个f g 的话你
要说全等的话它就和d f 相等是不是啊但是呢这个f g 的话给我感觉应该是一个九十度在这里那我们就要想证明一下这个角能不能证出来九十如果是九十的话那这里就好做了刚才我们说三六九的话这个角是三十度因为你是翻折过去的所以这个角就是一百五十度啊那么我们的角b e g 是等于
一百五十度所以我们得到的这个角b e f 就等于七十五度取一半那么这上面是一百二下面是它同同旁内角所以这个角是六十度七十五度六十度一百三十五一百三十五说明这个角四十五度旁边这个角跟是对应关系所以这个角是四十五度
是不是直角出来了所以这个题就是在求我们的这个菱形的高菱形的高我们刚刚讲过了就是我们等边三角形的高所以等边三角形也就是二分之根号三a 啊带进去二分之根号三边有没有说边是六乘个六上去所以等于三倍的根号三检查单位没有单位啊直接写三倍的根号三好下一题第五题
第五题呃菱形对角线交于点o a c d 是三十度那a c d 是三十度这个角三十度那么说明这个角六十度对吧b d 是角b d 是二b d 是二的话那么边长就是二所以a c 边a c 边的话那么也就是我们可以先求出它的这个
一半呢把o c 求出来你b d 是二什么o d 是角o d 就等于一然后这个三六九三角形里面啊三六九三角形里面长直角边是短直角边根号三倍所以o c 的话它是等于根号三倍的o d 也就等于根号三那么a c 刚好又是等于两倍的o c 所以算出来是两倍的根号三
两倍杠三检查单位没单位嗯好下一题第二个啊这个特殊对角线什么叫特殊对角线呢给大家分享一下啊就是说你如果是看到一个菱形它告诉你长的对角线是八短的对角线是六的话那么如果让你去求这个高的话啊求这个高的话
嗯我总结了一下这个高其实我们可以特殊特殊图形特殊半啊你记个乘法口诀就好了六八四十八啊当然这个得数是四点八啊就是我们好记方便记忆的话就是四十八所以你算出来这个得数肯定是四点八或者你写成分数你可以写五分之二十四里面我们来推一下啊那首先它这个长度要是是它长长的线
是八所以你取一半的话就是角等于四短的线是六那么取一半是三所以你的菱形的边就求出来了这个三十五勾股是不是好那么根据我们的等面积法所以就是用二分之一对角线乘积六乘八乘二分之一再除以它的这个边的话是五的话这个约掉是三所以就是五分之二十四看到没有
是五分之二十四啊然后你化成小数是不是刚好是四点八呀所以我们这个地方你写成四点八厘米或者是这个五分之二十四都可以啊所以你看到这个对角线只要是六和八的话那么它这个高肯定是五分之二十四或者是四点八都行啊你看下面这个题就直接砍瓜切菜啊这个也是刚考的那个这个其中的题目你看一个是八一个是六的话那么菱形的高啊就是六八四点八或者是五分之二十四兆
有没有选项有b 选项b 选项好再看下一题呃这个是对角线六八菱形的高五分之二十四选a 是不是啊就是这个啊等面积法求高啊等面积法求高我们看嗯这个菱形然后呢a c a c 是我们这一个短
对角线啊这个是短对角线这是短对角线那么b d 呢它是我们的这个呃长对角线啊这个是长对角线这个长对角线长对角线现在让我们求c d c d 的话它是c d 边长高啊求a 一那就求菱形的高因为菱形的膏好用等面积法则h 等于这个边长啊就是我们的边分之二分之一乘以对角线乘积
啊对角线的乘积呃长和短都已经告诉我们了就是二分之一乘以八乘以十呃边还不知道边用个勾股去求就好了因为勾股的话你要把对角线各取一半对吧a c 是八的话那我们o c 就是几啊o c 就是四b d 是十
的话那就是我们这个o d 就是角o d 就是五所以这是四十五啊四十五它不是勾股三十五啊因为它是你这个长直角边是五啊所以对应的就是十六十六和二十五的话就是四十一那你这个地方是根号四十一了啊这里根号四十一啊这个二和八月是四十就是根号四十一分之十的有理化就是四十一分之四十倍的根号四十一啊
再检查单位没有单位啊直接写四十一分之四十倍的根号四十一啊这个这个这几个题都没有单位啊没单位这个最好因为你有单位你没写单位的话还要扣分的啊再看第十题第十题我们这个菱形啊告诉我们a c 是四a c
是四这是短对角啊这短对角线这个短对就行了那么b d 是八这是长对长对角线呃也是求菱形的高对吧你不用管这个嗯他是哪条边上高我我可以告诉你你菱形这个你去求这个高的话都是一样的啊
都是一样的听到没有因为它这个四个三角形你四个三角形它的这个面积都是都是四个全等的直角三角形知道吧啊所以你我们在求这个高的时候那么h 就等于边分之二分之一对角线的乘积好那么这个a c 是短对角线b d 是长对的
线就二分之一乘以四乘以八啊一样的还是要求边求边的话就各取一半它是二它是四所以是二四也不是个五数啊只有我们平方就好了四十六二十二十开方就是这个四五二十两倍根号五对吧两倍根号五
所以除以两倍的根号五那这个约掉所以就是根号五分之三十二根号五分之三十二呃这个用完之后是五五分之几啊不这个这个是二啊这个二和四约完是二二和二约掉所以根号五分之八所以是五分之八倍的根号五啊
五分之八倍根号五五分之八倍根号好这是我们说的这几个题目啊后面的话我们再抽时间再讲一讲好大家再把它好好看一下啊