讲座：科普级讲法--维数的定义
作者：arithwsun · 时长 2:50:49 · 发布于 2022-12-03
视频文字稿
这好大家可以听见我的声音吗可以的可以的王老师哎好stanley 你也来了哈好的是的好吴超超那个
你在那边能听见我儿子的声音吗因为他在另外一个房间说话我害怕传过来你那边的音箱能听见吗哦老师听不见光能听到您的声音那就可以好的那应该就没有影响我就不用启动更高的设备了好那么我们今天
的话我们是这个讲座我们的是这个科普级讲法为主的定义的这样的这样的一个活动然后呢还跟我们以前的讲座的类似就是说然后听众在我们讲的过程中可以随时插话打断但是在插话打断的时候的话最好呢不要就是说我们正在说a 的问题你插话提问的时候一定要
提问的是a 方面的问题你不要就是说我提问我正在讲a 的时候你提问到b 的问题不要这样如果想提到b 问的问题的话我们会有每个小段落会说再问一下哎大家有没有问题有问题的话可以提然后在小段小段落
之间你可以稍微提问的稍微就是更广泛一些都可以好那么我们好我们这次讲座的缘起的话已经在我们的讲座预告上已经写了然后呢这是我们的讲座提纲我就按照我的提纲的大意的话我来去写
来说一下就好了然后呢那么坐标的产生的话我们现在这样干哈那么在这个就是很多时候这个上数学课的时候现在中学老师有好多中学老师可能他自己都不知道坐标是怎么产生的我们为什么把我们现在的坐标呢叫做迪卡坐标我
先写一下我们的一个写法吧就是说我们坐标的写法我写一下因为我们在是实数空间里头吧我们就用实数来讨论比如说r 三维数值数空间的话这个集合怎么定义呢它就定义成是x 一哎我们平常写成是x y z 我就写成x 一x 二x 三是吧用括号
一些然后用中间用逗号它就表示的是一个三维坐标这个三维坐标中其中的x i 呢i 从一到三呢每个x i 都属于实数所以这是我们的r 三维空间的这个记号当然的话我们知道就是说如果我们写成这个直角坐标系的时候我们使用
右手直角坐标系的话就是x y z 这都都是大家在中学中学到的但是这个坐标轴这个坐标的话它是这个是我们那个是笛卡尔发现的而且是笛卡尔很年轻的时候就发现的我们哪一个同学还就是我们哪个家长就是知道这个故事的可以可以说一下替我说一下那个
stanley 你知道这个sally 你知道这个笛卡尔发明这个三角就是发发明解析几何的故事吗我我只知道这个事儿但是内容我不知道好那实际上呢作为中中学老师来讲在给中学老师在给介绍的时候应该介绍到这个笛卡尔发明这个的故事实际上我我我
本来以为就是我以为这些都是常识应该大家所世界上所有的人所有学解析几何的人都知道但是因为我问了我的这个学生本科生结果本科生不知道甚至呢有时候给他们上大学在大学教他们解析几何的老师也不给他们提那么我就这地方复述一下笛卡尔的这个故事我就不专门在网上搜了我就光根据我的记忆说我们家
有只小狗哈抱歉我就不用软件把它屏蔽了那个吴超超你能听见小狗的声音吗吴超超可以听见小狗的声音吗能听到一点一点不多是吧好行那我就不用不用程序把它屏蔽了那个实际上crystal 那个软件就可以
把这些声音屏蔽掉的我就我就不弄了那么我们笛卡尔当年他是个年轻人哈他很爱思考但是他的身体不好他喜欢成天躺在床上因为他身体不好他喜欢成天躺在床上而且他年轻的时候呢他进入
的是一个炮兵部队在那个炮兵部队的时候他可能也不是很用功不是很勤奋吧也经常在炮兵部队的床上就躺着那么但有一天呢他就看见了他的这个房间里有一个苍蝇在房间里飞飞呀飞呀飞然后呢他就想到了哎这个苍蝇就跟你然后
这时候就让他想到了这个解析几何发明的直角坐标系为什么呢这是因为在房间里的话你会有一个很自然的看到房间的墙角墙角的那三根线实际上就是我们的这个坐标轴但是呢这时候仍然说明这个笛卡尔的发明它有一个很重要的意味是什么呢因为苍蝇在墙角上飞的时候他给的投影实际上是在坐标面上
的投影光影依照它在坐标面上的投影但是呢笛卡尔使用它使用这个跳跃性思维它最后实际上跳跃到的是我们的这个苍蝇在这个坐标轴上的投影x 一x 二x 三或者x y z 这个故事当然不是我编的了这个是这个你去查科技史上有的但是呢这个故事是不是就跟牛顿的那个苹果砸头
那个故事一样哈会不会是一种善意的谎言哈就不知道了但是我们就知道就是说在炮兵的产生实际上呢对我们的科学的作用非常非常大实际上最近呢有一个上海实际上认为中国有两个老师这两个老师分别想写了两本科技史的书在科技史的书里头他们专门提到了炮兵他说炮兵
实际上呢就当然他没有提笛卡尔了所以笛卡尔呢因为他参加了炮兵部队他发明了这个解析几何我们知道炮兵的话是特别特别需要解析几何的这样他才能打的准然后呢那个是科技史的人可能没说他那本书吧因为太厚了我就没没没想买买来也没时间看我就光看他的科普介绍说炮兵部队
呢还产生了一个什么呢还产生了一个拉瓦锡是化学家所以这个炮兵促进了我们的数学产的笛卡尔产生而拉尔西呢他是化学家促进了化学因为呢因为为了研究炮兵使用的那种火药那么我们知道西方最后发展发展最刚开始他使用的是中国的火药逐渐的他叫把中国的火药不断
的改进改进最后呢完全成分都不一样嘛那就现在的炸药成分跟中国的火药的成分完全都是不一样的成分了所以阿瓦西促进了化学的产生然后呢说伽利略为啥发明出物理学呢他这么一说的话哎我听着倒挺有道理他是说什么呢说伽利略呀他不是研究什么呢研究的是这个咖喱月他研究
的是这个就是好把它稍微还会稍微缩小一点好那么伽利略的话它实际上研究的是在斜面上的这个球在斜面上的运动的这个规律的问题那么说哎呀伽利略为啥研究这个呢我当时都我们学物理的时候都惊为天人了把伽利略惊为天人说
这个人太了不起了这个球在斜面上滚他能够把它变成一个学问就像平面几何一样那就是一个三角嘛就是一个圆嘛就是一个正方形长方形嘛结果把古希腊人把它变成学问了咖喱咖喱这个伟大的地方就在哪呢就在于就是球在斜面上滚他就不知道做了多少次实验最后
把他这些东西呢搞成一个学问然后呢那个科技史的人说实际上这也是有原因的因为伽利略呢是炮兵部队的就是是一个炮兵是一个炮弹厂的厂长说看了一眼当年是一个炮兵厂的厂长他当年呢就是因为他们西方人这个炮兵他需要预测炮弹的这个运行轨迹才能比较准确的去
砸到对方的阵地那么吁吁那么预言抛抛弹的运行轨迹的时候我们现在都知道它是抛物线了但是在伽利略那个时候的话你要去看它的在空中的这个抛物线的话是会非常非常困难的那当时也没有那些测距仪那些东西没有那么多复杂的工具所以呢伽利略呢他相当于做了一个
转换把空中的研究变成斜坡上的研究所以呢我们就知道哎这在科学上是对的是可以的科学上就是这样把一个问题变为另外一个更方便研究的问题你在空中的抛物线研究的时候很困难很困难那我呢把它变成什么这个炮弹在这个斜面上滚的问题所以我们看这些科技史实际上对我们的教育会很
有启发所以中学老师呢也就不必包括我们的中小学大学老师就不必那么崇拜伽利略了实际上他也不是说是个神就我就想知道研究这个斜坡上的球的滚动而实际上因为他是一个炮弹厂的厂长所以呢我们就可以看出这个坐标的产生那么我们就知道r 三的话它实际上呢也就是说
其中的每一个元素呢我们把它叫做x 一x 二x 三注意这虽然是三个数但是呢在空间上看它是三维空间中的一个点或者一个向量这个向量呢学过中学的人就知道它的起点在原点处它的终点在x 一x 二x 三处或者呢就认为它是个点也行三维的点也可以所以呢我们就说哦所以r 三这个
空间它是无限的集合这个集合中就有每个点实际上就是一个x 一x 二x 三的这样的坐标所以呢我们相当于是什么呢我们就会有一个这样子的这个理解那么我们很自然的就知道了这个是那么r 三的尾数呢dimension of s n 那么它虽然
就是三维的dimension of our three 就肯定是二维的好大家如果有任何听不懂的地方或者有任何卡住的地方都随时问我哈包括我们的网络如果有问题也随时通过微信群跟我跟我呼一下哈好那么我们那么难道我们的问题解决了吗难道说我们这个三维空间的话就是一个
l 三空间的话就是一个这个就是相当于它就是一个三维的也就是说你坐标上有几个坐标坐标上有几个有比如说你这个有几个坐标那就是几维的那么这样子我们是不是就已经把问题解决了呢实际上呢当然我们知道这个如果这样的话
我们才说了十来分钟我们就这个讲座就结束了不太可能所以呢我们有下一步的演绎我们来先来看提纲哈那么我们呢先来看题干就是说我们下一步的演绎就是笛卡尔故事故事讲完了那么我们现在呢有一个坐标轴的代数化的这样一个公式这在我的爱上的话它输入数学公式的话会很
方便了他们现在都使用了tax 语言然后呢可以使用手写功能你比如说你像我现在的话像现在这些在线文档它都比较高级了你像现在在我的文档上还有可能还有其他一些文档上也都是输入的时候很容易输入了你你比如说
看这个我如果输入数学公式的话那么这时候的话它这上面有一个手写功能比如说我写一个e i x 等于一的话好提交它就会自动识别然后呢它现在大家在页面上这个输入框会看到的这是lattix 语言数学公式的lattix 语言然后呢点击确定它就出现了那么我们当然不要它了哈好现在呢
我们来看一下这是一个什么东西哈就是我们坐标轴的代数化是一个什么东西所以我们今天讲维数的话主要是从代数的角度去讲而且只有从代数的角度呢实际上才会严格的定义它那么一乘一的话就是第一个坐标轴上的单位向量好第一个是坐标轴上的单位
向量然后呢一和二的话它就是什么呢就是是第二个坐标轴上的单位向量那么然后不断的走走走那么我们就知道的话要一乘n 的话如果它是n v 的话那么它就是零逗号一不这个地方还是零一直到最后这是一那么这就是每个坐标轴的单位向量然后我们现在
任意一个向量的话对于任意的向量阿尔法属于r n 的话那么这个阿尔法的话它的坐标当然是可以是任意的值了x 一x 二一直省略号到x n 那么其中的x i 呢它是属于实数的好我稍微把它缩小一点那么下来我要干一个什么事情呢就是说我们现在从这个角度去理解为数
是怎么回事儿哈想要理解为数是怎么回事的话我们有两个角度我们先从这个比较直观的也比较好解决的角度去理解我们一会儿还有一个更难的角度哈而线性代数这门课程高等代数这门课程呢它一开始是先从那个更难的角度理解的然后后面才用这个相对比较容易的角度我们今天呢就一上来就先用这个相对容易
的角度那么阿尔法是什么呢阿尔法就可以写成x 一衣服衣再加上x 二乘一乘二再加上省略号再加上x n 乘上一乘以n 好大家用一下口算能力心算能力哈那么x 一乘上一乘以一的时候相当于x 一呢这个数数乘上一乘一那么数乘的规则是什么呢就相当于这个数呢乘进去了x 一乘上一
不等于一相当于它对应分量相乘相当于h 一乘上一然后在x 一乘上零在一直点点点x 一乘上零那么所以呢它就等于什么呢就等于x 一零逗号零那么同样的道理呢x n 乘上一组n 的话就等于的是零逗号点最后一个是x n 了那么x 一一普通一加上x 二一普通二加上省略号
一直再加个x n 一普通n 的话就是对应分量相加就是向量的对应分量相加所以呢它就等于我们的x 一x 二x n 哎这个数学很简单哈数学科普呢它比较困难的地方就在这里它跟物理学科普跟其他的科学的科普有一个很大的不同的地方这也是我年轻的时候我读
大学的时候我特别困惑的地方因为我还是一个很喜欢看科普的人但是呢我不喜欢看数学的科普我喜欢看数学家传记因为那传记上都主要是文字但是呢你说物理学的科普呀化学科普其实都挺好看的因为它其他科学的科普都都有一个好做的地方是
什么呢科普就是数学要越少越好来数学公式你要越少越好所以物理学呢就把数学去掉剩下来的一些物理学的直觉做成科普哎挺容易接受化学其他科学也都类似但是数学的科普非常非常难做你本来是讲数学嘛然后你看数学的科普里头你又把数学公式去掉那就没法讲了所以从目前来看的话就是说在介绍数学科普
方面非常成功的书籍比较少虽然我的好朋友很喜欢看当年我们在大学本科的时候他非常喜欢看什么是数学呀把那本书课堂上写的什么是数学那本书都揣摩破了但是我就比较讨厌看那本书我说为啥我看那个我还不如看教科书呢所以当然我
我我可能也有可能我当时的数学领悟力不高后来我那个好朋友到了北京大学当教授了北京大学的数学系当教授我是在首师大当教授那么所以呢我们就是说哎呀数学的科普确实非常非常难做就是完全没有数学公式我说那就不是数学了那就对于数学
不用公式还是不行的所以我们今天做的数学科普的话其实呢不是那种不要数学公式的科普而是还是有点数学公式但是呢我尽量在听讲者的听众的能力范围之内比如说就像现在所以家长们就是注意只要你觉得稍微难一点的数学你立刻问我有可能你觉得难
但是呢我觉得容易我们俩之间稍微有一个差有一个有一个缝隙但那个缝隙只要你告诉我了之后很可能的我可以用很容易的办法立刻让你明白了所以大家一定要随时提问哈即使数学公式有不懂的地方但是很可能那个不懂的地方没有想你想象的那么难你告诉我我可能很容易就帮你解决
了哈好我们接着往下来讲那么这个为什么就跟维数有关系呢哈然后我们来看一下我们它这个为什么用维数就有关系呢我们正好可以看到阿尔法呢是被一丛一一从二一从n 这n 个单位向量所线性表示我们把这个等号右边的叫做线性表示一分
之一一分之二一分之n 线性表为啥要叫线性呢它在线性代数里头而且呢它的a 一a 二a n 这些一部分一一部分一部分它都是一个就是一个加减乘除所以我们把它叫做线性就只有加减乘和数乘的我们就叫做只有加减法和数乘的我们就把它
叫做线性这是目前这个数学界的非常正规的说法就是你只有加减法你只有数乘那么你只有这两个规律的时候我们就说哎你就是个线性的而且我们已经知道就是说我们数学中所有科学中最最简单的最容易的部分就是线性科学的部分大家经常听说线性科学非线性科学你只要说非线性
科学一定就知道哎呀这东西很难很难一听说哎呀我把一个问题已经线性化了基本上你就知道在科学上我已经把这个问题解决了那么我这个前面写的羁是什么意思呢嵇大家就就就从字面上一直容易明白就是基底就是指的是他的这个精兵强将
呀也就是说我n v 线性空间中他的精兵强将就只有n 个就有限个就n 个这n 个精兵强将呢可用来表示所有的任意个的无穷个的这个向量怎么表示就是把阿尔法里面坐标里面那个系数a 一乘到一前面一一分之一前面a 二乘到一分之二前面一乘以后就是线性表示
了那么因为我的精兵强将呢就是n 个所以呢我说我们的这个m v 空间的维数呢就是n v 哎那接着说哎呀老师那是好我明白了我可以走人了那你还不明白还有一个东西哈就是说我们这个精兵强将必须满足两条特性第一条特性呢我们在这上面写一下就是说
任意给定的向量均要可以被线性表示也就是说阿尔法等于a 一平方一a 二一平方a n 一平方等号左边的阿尔法呢是任意给定的销量那都可以被等号右边的这n 个精兵强将所线性表示出来就可以写成这样的公式而且呢还要有一个非常非常重要的特征因为我们知道这个a 一a 二a n 的话它实际上是什么呢他实际上就是说或者说我们的
这个x 一x 二x 就在这上面写它实际上就对应的是什么呢阿尔法中的x 一x 二一直到x n 的这个坐标所以上面的这个表达式下面的这个坐标形式那么我们知道我们的坐标的话他是唯一的我们的坐标是唯一的那么我们实际上那我们就想着
这种表达式的表法必然也是唯一的也就是说x 一x 二x n 只要你二方任意给定的时候这些二x 一x 二x n 就肯定确定下来了好那么我们很多同学都是在上大一数学系的时候才开始认真对待唯一性的但是很多
非数学系的同学但是哪怕这个后面即使是自学了一些数学但是呢非数学系的同学就对唯一性这个东西没有高度的重视那么如果没有这个地方的唯一性的话实际上呢我们就不能把它叫做精兵强将为什么呢那么因为我们现在就有一个问题因为学数学的人他都经常就是思维比较缜密比较严谨那么他就经常就会想了说哎呀有没有
可能有两组机其实有有两组机还是正常的因为我们知道我们随便画个图就可以知道了知道这是我们刚才画的这个x y z 那么根据物理学我们知道哎我把这个x y z 稍微旋转一下稍微旋转一下它就会形成另外一组基因这对物理学家来说是非常非常
正常的你会旋转甚至把它的原点进行平移我们知道旋转意味着什么是原点不动而平移是指的什么呢是指的角度不动再加移动旋转加平移的话就是刚体运动所以呢我们这样一把坐标轴一旋转一平移以后那么它的这些单位向量就肯定都不一样了也就是说它的积也都不一样
了这个是很正常的所以我们实际上是知道的就是说是否有可能有两组姬这对物理学家来说就是知道的但是显然会有两组机但是我们数学家会接着去想物理学家一般就不使用这种思维方式了但数学家呢他还是比较比较这个这个哎吹毛求疵就说你是不是有可能有两组机你这两
组机中一组是一分一一分二一分n 但另外一组呢可能是可塞一可塞二可塞m m 和n 呢可能并不一样那么这时候你用来定义为数的时候就会出问题了我还是在这手写一下吧所以我们这个时候呢我们会还害怕出问题就是说你阿尔法一方面是可以被一
丛一一从二一从n 所进行表述但是我们害怕什么呢害怕说反正又来一组就是y 一和c 一一直加一加省略号加一加省略号y m 可c m 哎所以数学系数学家经常干的是这种事儿他跟物理学家有点不太一样的地方就在这儿就是说我们如果从上面的去考虑它是一个n
维空间因为他的精兵强将就是n 个如果从下面考虑的话它的精兵强将是m 个所以它是m 维空间所以如果n 和m 如果不等的话那么这就天下大乱了你一个空间不可能既是n v 的又是m v 的这样子你这个数学也就没有任何意义了所以呢我们的唯一性唯一性就说明这就是在数学
中处处要考虑唯一性因为你在考虑一个定义的时候首先一个是这个定义的存在性这个定义中它所定义的对象存在不存在这个一般都是对的但是呢我们还有第二条第二条就是要考虑它定义出来的这个维数它是不是就是唯一的你不可能一会儿说我根据这个定义得出它是n v 一会儿呢我还是从根据这个
同样的定义的规则但是我使用另外一种算法得出来就是m v 也就是说我规则已经定下来的时候然后呢我使用不同的算法算出来不同的积的时候但是我积可以不一样但是我积的个数就是一样的我把就把积的个数呢定义为尾数所以这个是我们普通
的这个普通家长没有上过数学系的人就对唯一性哈对于这种预防麻烦事儿哈是缺少这个缺少认识的地方我们做科普讲座也正是因为是为了是指在这些方面来提高我们群众中的认识你包括现在有很多省长越来越多的省长都具有博士学位了那么这些省长们制定政策的时候他们呢就是尤其是数学系
出身的人的话他们可能就会思维更加缜密一些就知道哎我出现的政策呢不能互相打架了就像我曾经教过的一个学生是零三级的本科生他现在已经是一个我们国家一个县的副县长了最近可能他的工作还要再提升当年呢他本科生毕业以后呢上北大不是现在咱们上本期的硕士硕士
毕业了以后上北大的数学系的博士结果北大数学系博士一毕业以后他很很惊讶他告诉我说哎呀王老师我要跟你告别了我现在要去当去一个省的党委去工作了我当时很奇怪我说你是不是很有志向想改变中国好像他也不是他就是可能觉得他他就是把他当做一份工作后来过
了几年之后他又过来到北京看我他说哎呀王老师我现在还干的不错我去当副县长了他是他们那一批博士里头第一个去当副县长的或者是第一批去赚回去我就很惊讶我说你看你平常也说话不是很多哈但是他跟人交流也没问题但是我知道他的语文水平作文水平肯定没那么高嘛我说
你也不是文科的你怎么能受到领导的赏识呢他说哎呀我们这领导大领导还有很少是我他说为啥呢因为我们是省级单位省级的单位我们要出很多省级的政策出政策的时候我就需要呢就这些政策之间不能互相打架他说这就跟我们学数学
一样哎你不能互相打架所以结果呢我们这种学数学的人呢在出政在他那个政策的就是之间他就经常要去检查他们的省级的那些政策他检查的很好然后大领导很高兴就是很赏识他去让他当副县长了他也
是个农村出来的孩子农村的孩子变成副县长在三十出头的时候就变成副县长了所以呢我们就可以看出来我们数学的这种思维方式实际上需要我们国家的高层次的人士去认识到的而不光是说光是数学界认识到内部系因为实际上我们是需要整个的这个科普力量能够下沉
到这个我们的高层人士但是因为我怀疑高层人士还不知道所以我们做个讲座哈就尤其是不是数学出身的那些非数学学习专业的人可能对这些思想就不太理解了好那么我们这个问题的话我们先不去解决我们先不去解决为了解决这个问题我们需要动用
下再过一节的知识叫为数背后的老板是线性无关系就是我们中间要插播一个用另外一个角度来理解位数你看看我们上一个角度是什么呢是用坐标的方法用线性表示来定义为数但是呢我们还有另外一个方法就是什么叫做自由变量的个数来理解位数我来给大家
再接着来哈那么我们已经知道了我们现在已经知道这个问题dimension r n 他就是人为的那我们讲课是不是结束了呢为了不要让我们的讲座结束哈我们来一个问题problem 我们的问题是什么呢我们来看在这个文微空间中哈a 一x 一再加上a 二x 二一直在加省略号再加上a n x n 它呢比如说等于b 我们知道它实际上是高维空间中的一个超平面
那么我们来看一下n 等于二的时候它很简单n 等于二的时候就是a 一x 一再加上a 二x 二等于d 那么根据中学的知识我们知道这就是一个直线直线也就是n 等于二的时候它是个直线那么n 等于三的时候的话它实际上a 一x 一再加上a 二x 二再加上a 三x 三等于b 那么他
呢就是一个就是根据中学的知识高中知识它就是一个平面三维空间当中的一个平面那么我们这时候的话所以呢我们就把n v 空间中这样的东西的话我们就叫做一个n v 空间中的一个超平面稍等我把它稍微缩小一点点哈好我现在用的是windows 电脑有时候它比ipad 上稍微操作要麻烦一点那么我们注意知道平面的维数我们
从维数的观点上来看平面的维数是多少是二维的直线的尾数是多少是一维的那么临危是什么呢临危实际上是一个点所以点的维数是多少点不是没有维数点的维数是零那么n 为的时候呢如果是n 等于n 的时候的话那么它就是变成这个方程我不抄了哈那么这个方程我们自然的会想到
它的维数是多少呢那它的维数按照这种递推法的话它就是n 减一n 减一维的好那么我们现在第一个问题表面上看好像解决了对吧但是具有数学思想的人就肯定会想到一个比他更一般的问题我们哪位家长能说一下同学别说今天也有一些我教的同学来参加了同学们肯定都知道了别说
了又糟糕又变成这样了和大家凑合一下吧这个软件它稍微现在有有时候仍然会出现这样的问题我们找一个更难的问题或者更一般的问题我们刚才已经知道我们的这个问题在这儿哈我我们的问题在这儿已经解决了也就是说这个超平面根据
递推法的话我们可以猜出它的规则是它的维数应该是n 减一维的但是我这一缩小它又断码了这是这个软件有一还是有这个问题好我们先凑合着哈那么我们找一个稍微比他更一般的问题现在stanley 你先说一下吧stanley 来说一下把这个问题变得更一般一些更难一点你来说一下
我可能我还不太理解要说什么就是要比这个问这是一个问题这个问我们刚才的问题就是a 一x 一加上a 二x 二加上省略号加上a n x n 等于b 它呢如果是或者在这儿看如果它看成是一个集合的话实际上就看成x 一x
二x n 这个集合然后这个集合呢它满足的条件是其中的这些坐标呢a 一加上x 一加上a n x n 呢它等于b 一那么我们知道这个集合上的点呢它实际上就是n v 空间中的一个超平面如果我们说它是位的话这个集合我们叫做位的话那么我们就根据刚才的推理
就知道n 等于二的时候它是一条直线所以它的尾数就是一n 等于三的时候它就是一个平面所以它的尾数就是二那么n 等于n 的时候的话它的尾数我们猜测那就应该是n 减一所以我们刚才已经是相当于是有个特例了现在你要把
它一般化把这个特例一般化你还需要我我得想想王老师那有没有还有没有那个今天肖老师到了没有我到了我到了你来说我想问一下这个是一个离散的一二三四这样子它能不能在二和三比如说
二和三中间再有一个维没有了连续不连续不一定的话就是这个整数中间会不会会会不会再有你想要分数或者小数这种类型的维度你想是哪个我们坐标数学线的坐标都是x 一x 二x 自然数就行下标都是自然数对也是好那那我就没想那么多了我只想到这么一个方向你们实际上
都学过线性代数哈我们现在这个一般化的这个问题实际上就是线性代数的我们学线性代数这个学科我们有三大问题我们现在这个马上要写的这个问题就是线性代数的第一大问题线性代数的第一实际上我们问的这个问题马上要问的问题其实就是它所针对的数学对象就是线性代数这个学科的第一大针对对象哎斯坦利你说
一下现金代数要解决的第一个问题是什么是不是坐标系的转换不是不是那个相信大家要解决的第一个问题肖老师说一下线性代数要解决的第一个问题是什么我们也不知道了那个有没有我们其他家长知道的哈
线性代数要解决的第就是大家在大学一第一年级学的线性代数还有stanley 你看的那个线性代数书上也对了平常心是知道的就是求平常心你开麦克风你说一下我来写你来说我来写平常心你来说一下我来写你能开麦克风
吗平常心他们那边比较吵好那我就直接说哈那么就是线性方程组的求解问题然后呢因为现在它不光是一个方程了所以呢我们把它的方程呢a 的下标写多点儿写成这样stanley 你看一下这是不是你的那个书上写的这个东哎小孩儿说你有有你把第二行告诉我
你来说我来写你来你你来说第二行我来写第二行是a a 我想想a 二一a 二一x 一加点点点点加n a 的那个n 这是n n 吧不对反正你这个那就是a 那就是a 二a 二a 对对对a 二a 二大家注意因为都是第二行的方程所以呢第二行中呢它的
第一个坐标的话都是二好然后你再接着说最后一行最后最后就是a 的m 一加上点点点加上就是到a 的m n x n 等于b m 对对对所以它是b m 的方程所以大家看见第一个坐标的话是关于行第一个坐标的话就是关于杭州市都是相同的而第二个坐标大家
会发现是关于列都是相同的关于列都是相同的这是线性代数的这个这个一般化的是线性方程组的问题那么有了这个线性方程组以后我们自然就去想问问我们的问题
是如果把它认为它所对应的那些坐标呢x 一x 二x n 呢满足这个线性方程组的话我就不再写集合了哈大家就注意哈现在就是说我们说的位实际上就是满足这个线性方程组的那些x 一x 二x n 它很可能是无穷多个点如果是无穷多个点的话这无穷多个
点所形成的集合他的尾数是多少那么根据我们刚才的想法就想了它应该是什么呢它会不会就是n 减m 呀大家看一下会不会就是n 减m 呀为啥呢因为你看刚才我们是n 个自变量对吧然后一个方程我们刚才看的是n 个自变量
一个方程所以我们是n 减一那么现在呢我们就看这一般的线性方程组的时候的话那么我们自然会猜测那么这样的底面身位它会不会是就是自自变量还是n 个那减去m 个方程这是不是就是它的尾数呢好stanley 你不是自学了这个又后面又自学了一下这个linear
algebra 嘛线性代数那个你现在直接告诉我我说的对不对我有点想不起来了但是我觉得很对那这个实际上是不对的首先它是不对的如果是这样子的话我们线性代数这个学科又不用学了太简单了立刻立刻不用那么多长篇累论我们就把它学完了steady 你看你的这个字节效果稍微还有点
这个你用的是哪本书你的自学我我找了好多东西然后包括网上的但是因为有点年头了我又有点忘了你不是因为因为我经常走公式嘛在学你不是去年还在学吗也对但是那个之前就没几其实就看了几章没学扎实然后后面也没看完好那那个
哎呀糟糕我这个一弄吧他这个软件还是不能用一弄他就出问题而且他不能回去就是退回的话他都不我是用退回的话他都他不能退回了大家稍微我这个还是已经吃了他好几次亏了还不断吃亏我就有点有点老是抱有侥幸心理好这个大家就看好那这这个的话可能
就是我们家长里头有没有知道的家长里头有没有知道这个首先他不对但是呢斯坦利的感觉呢其实还有道理平常心你说你这个说不了哈分类你这个分类讨论这个词哈不太对你如果说一句话我就知道你肯定知道这事儿了你要打另外一句话不
叫分类讨论的打另外一句话我就知道了就是说是这个虽然是错误的哈不是这个虽然是错误的哈就是平常心说的还是不对就是这个答案虽然是错误的但是呢他在某一种特殊情况下这个是对的sunny 你还记得吗在一种特殊情况我们这个公式是对的我
得去查笔记好像是我我我记不得了特殊情况是什么呢利用高斯消去法把它画成特殊型矩阵的时候把它画出特殊的这个阶梯形矩阵的时候那么我们的dimension v 呢确实等于它的自变量
的个数减去呢化成阶梯形方程组之后的话的那个化简了之后的那些方程个数所以呢有这里面它有可能有一些冗余信息冗余信息你可能划来划去用高斯消去法画下去有些方程就完全
就被划掉了完全就变成零了就不计算了所以这个m 的个数呢你有可能数多了但是在最精简的情况下也就是高斯消去法之后的阶梯性方程组的时候这个m 就不能够再被消掉了它不可能它就不可能被消减的更多了在不可能
被消减的情况下的时候这个dimension 位确实是等于n 减m 而且呢我们给它取了个名字不叫做m 我们把它取了个名字叫做什么stanley 我又考你那个你的线性代数了我们不把它叫做m
我们不记得哎我不看笔记都想不起来所以这个自学还是很困难的哈我们把它叫做治这个系数矩阵的质实际上就是它的高斯消去法之后的这个阶梯形矩阶梯形这个矩阵的非零行的个数哎所以所以这样子的话我们唉又从另外一个角度学学完了这个dimension way 所以现在
我用不到我不到五十分钟我们把这个为数解决了但是呢因为我们毕竟还需要去理解的更深入一点哈我们后面的东西呢就比刚才的去实际上是会更困难一点实际上我们后面的这个东西的话是把这个前面的东西的话当做引入问题的引入所以用自由变量的个数
来理解维数线性方程组减去的维数就等于自由变量的个数而自由变量的个数实际上呢就是说为啥说这个自由变量个数我刚才没写我现在换一个方式写一下哈我刚才没说自由变量的个数我就用这个吧哈好那么我们来看一下哈什么叫做自由变量的个数的话
刚才没给大家讲a 一x 一再加上a 二x 二一直在加到a n x n 吧等于b 对吧那么我们前面引入的维数的个数是啥呢首先就是说哎呀你坐标有几个我们就认为它是几维的但是呢你在这种情况下你会发现呢这样的认识就不行了因为现在我们的情况是什么呢我们的情况
是我的这个阿尔法这个向量它确实是n 个向量它是属于n v 空间的也就是说它所处的集合是n v 空间的但是呢阿尔法呢它要同时满足这个线性方程线性方程就一个吧我们就看一个的情况就看这一个的情况那么这一个的时候它肯定不可能是n v 的我们知道根据特例的话
就是我们知道平用n 等于三的时候是平面它的是二维的n 等于二的时候它是一条直线直线是一维的但是为什么平面是二维的为什么直线是一维的实际上这个原更加原始的问题我们其实还没有真正解决就是为什么你就说平面是二维态我们好理解r n 是r n 是n v 的我们也好理解r 三是三维的r 二是二二维的但为什么平面
是二维的因为平面你可以敢看成是二维空间的一个截面这样说也可以但是万一我这不是个平面呢我是个曲面呢我这个曲面拐里拐弯呢那你为什么又说它是二维呢这时候我们就引入自由变量的个数自由变量的个数那么如果自由变量的个数的话它是多少我们就说它是多少维的所以呢
你从线性方程组的过滤图利用曲面的角度来说实际上就是说这个曲面所能代表的自由变量的个数是多少位那么我们来看一下它怎么看出它的这个自由变量是n 减一维呢我们这样来看x 一给它赋值可以给它赋值任意的一个实数任意的实数这个记号表示任意的意思哈它就是安利到这儿写过就是
安利那个大写字母到这儿写我们上过大学的同学应该都用过这个记号那么x 二呢我同样可以给它赋值任意赋值但是我多写一点哈我把这个地方稍微擦一下我多写一点加上我稍微多写一点哈好好所以这个我们来看一下所以大家就
可以看到就是说我当时为啥要支持那个云南数学小天才大家就知道了吧那人家那个云南小天才多不容易那个小学阶段初中初一阶段他就能够把这个大学的高等代数他能自学学会然后你看我们这我们的精英家长斯坦利你看都成年了他都做不到但是人家那时候能做到所以当时我们几个
数学家为啥支持人家是因为这件事情确实非常难做到我们再接着来看哈所以n 减一乘x n 减一的话你看这也是那原来那些小天才也都没听过我这样讲课但是呢他们能够自己看书真的把它看会了也不容易了所以我今天的讲座虽然很短虽然是科普级的但是说
如果有个学生他是哪怕是他是大学生的话他大学高等代数学完了之后他要在两三年之内能够达到我这样的科普级讲法的他能够他自己能够达到这个水平就是自己能够按照这种方式哎我能自己这样理解这样讲出来那这个学生都已经非常非常了不起了都应该已经属于数学天才级别了而我帮助的那个云南
小天才其实它就是属于这个超级数学小天才那个清华大学通过他们的教学实践证明这样的天才全中国只有一个所以有时候你一对比你就能感觉出这个分量好现在我们就可以看出x n 这前面这都是n 减一个好现在我们的自由变量个数为什么是n 减一个的呢这是因为前面
我都是可以任意给任意给你之所以任意给我们就把前面这x 一x 二x n 因为你反正你是可以任意给的嘛x 一x 二x n 减一你可以任意给它赋值实数那么我们就把它叫做自由变量当前面这n 减一个变量可以自由复制了之后都任意给定给了之后的话大家发现x n 呢
就可以被解出来它就是确定的值所以x n 就不自由了它不自由了它就被固定住了所以x n 就不是自由变量就把这个x n 刨掉剩下的这个n 其他的n 减一个全都是自由变量所以我们说哦这个超平面的维数从这个角度来说它是等于n 减一倍的好好
大家累不累如果大家不累我就接着往下讲如果大家累我就休息十分钟然后十分钟之后我再接着来讲我都可以的哈我们找一个同学问找一个家长问一下艾斯塔利你要不要休息一下我都行没事了那个q q 那个q q 你需要休息一下吗需要休息十分钟吗累不累可以继续听王
教授没事儿哈那也行好那个雷诺曼的雷诺曼累不累北罗马累不累老老师不累你累不累要不要休息没事儿朋友是讲的人不会累的磊落妈你是还这么爱学习哈你你让我没想到磊落妈你大学的时候是学的什么专业的呀我学的是那个旅游管理对对对那数学
肯定学的更好了更少了哈学数学肯定学的更少好那我就接着讲哈我可能我估计大家可能不是太累因为我这就像讲故事一样我们那个数学难度还不高哈那我就接着往下讲下去哈我本来是想给大家休息一下
后来我看好像还挺轻松也不是太累那我就接着往下讲哈好那么我们所以呢大家一看我们其实呢已经都把这个提出来了这个一般问题的剔除就是指的是线性我们刚才说的线性方程组的所以你看这个大纲里头有六个哈我们其实已经很快的把前面四个
其实已经解决了而第五个的话稍微有点数学然后呢第六个数学又比较少然后我们来看一下我现在来来说一下我用我还是用one note 这个软件来说哈好那么现在的话我们就这个来一个主体线路就是说我们稍微
稍微多说一点数学然后我估计咱们说不定今天能够把这个讲座讲完我本来以为我要讲两次的但看来说不定其实说不定一次就可以讲完了那么我们现在来看刚才的我们的表法是阿尔法就可以等于x 一x 二x n 我们复习一下哈
复习一下这是我们刚才的讲法注意这是我们刚刚讲过的东西这是我们刚刚讲过的东西复习一下好那么它是等于什么呢它就是等于我们的x
一乘上一负一再加上x 二乘上一负二再加上x 省略号再加上x n 乘上一乘n 号其中好磊落妈因为你是旅游专业的所以我专门考你一下哈依从爱你还记得是多少吗或者一送一这样说一送一是
多少你还记得吗老师我不记得了没事儿哈那个我们现在让q q 说一下哈q q 你能说一下一统一还记得是我们刚才讲的时候它是多少吗你刚才讲的还是说以前学的就刚才讲的就刚刚讲的刚刚我们刚讲我我想一下前前二三十分钟讲的一逗号
零逗号零零零最后是零对对对是这个一逗号零逗号省略号省略号是零对所以这个这个q q 出马还是没问题的哈q q 虽然是法律学人士但他对数学很热爱哈然后我们到这儿所以其中它是这些那么我们把它叫做什么呢叫做这个肖老师来说一下我们当时呢
说这个然后我们给他取了一个名字我们当时是用汉语说的我们说这是什么什么什么这是什么什么肖老师你说一下肖老师在吗我我在我在没没记住那你怎么能没记住呢年纪大了是吧好当然我们本科生其实经常就发生这样的问题他们经常就
课堂上听课效率低就容易这样行员你能说一下吗行员一个说是基对吧然后呢我们还在说基之前第一个就是说我们说是基对不对然后我们再说基之前我们还说了它是个什么秦源你能说一下吗完了是单位向量吗对对对我们
先说的是我们从解析几何上来说它实际上就是第一个坐标轴的单位向量这一送n 就是第n 个坐标轴的单位向量肖老师记起来了吗我没办法你这么一说我知道就是斜着那一行斜着的那个那个对角线全是一是吧不用不用携着
它这个就是这个向量你说的斜的是指的是单位矩阵不要弄混了对就是写成矩阵的时候写的全是一是吧不是这就是指的是你我给你画图我给你画图画图画图看的话就是说我们刚才因为没画图我们现在复习的时候画一个
图哈我们看一下这就是第一个坐标轴是x 一这是第二个轴坐标轴是x 二这是第三个坐标轴x 三嘛哈我们就不要x y z 了我们就x 一x 二x 三的坐标轴注意跟我们这个记号有点混哈但是不失其义的情况
下大家不要那么混那么x 一坐标轴上的这个点它的坐标是什么呢它的坐标就是一逗号零零x 二上面的坐标的这个点它是什么呢它就是零一零肖老师现在看明白了吗看明白不明白所以这第三个就是冰凌了对对对不是说错了第三个就零零一所以这些呢
我们把它叫做第一个坐标轴上的单位向量因为这个点也可以看成单位向量就是它既是点但同时它也可以看成向量也就是说把它的起点是原点终点看成这个点的话那么连成一条线连成一个矢量
箭头也就是一个向量它是单位向量好肖老师现在没问题了吧行了没问题了没问题了我就问你那单位从哪儿来的为什么把它叫做单位相连因为这个东这个它进行各种变换
的话能变换出整个这个平面上的空间来不是就是因为它的长度是等于一就是因为它的长度是等于一所以它的单位向量好那我这个刚才要表达的意思就是它乘以任何的数乘以很多很多
数都可以变化出任何的东西来那你说你说你说的城市在这儿你说的城市在我们这上面的公式里头好现在我们已经复习了复习了这些了之后哈但是呢这还仅仅是高中级别的认识我们刚才说过我们大学
级别有一个很重要的特点很重要的认识是什么呢不光是要有第一点第一点就是说任意的阿尔法属于r n 都可以被一乘一一乘二一乘n 所线性表示也就是这个公式是对的但是我们说第二点更重要也就是说它的表法是唯一的
这一点是不普通人不容易重视到的地方但是呢只要是上数学系的人就会非常非常重视那么什么意思呢也就是说因为这我再帮大家回忆一下就是说我们说表法唯一的意思也就是说它呢如果有一组积就是x 一乘以一一直在加到加到一直加到一普通n 的话x n 一普通那么
我们刚才已经知道这反正有一组积嘛它就是这样的写就行了但是呢我们因为知道数学是抽象的是一般化的你万一来另外一个组织也满足一二两个条件呢所以我们就要去考虑如果我们来另另外一组机比如说一乘一一
乘二它一乘n 它不一定是一零零零零或者零零零一它有可能是另外的写法的时候这时候我们就要考虑你如果换成别的写法的时候一种抽象的写法的时候我们就保证就是说同样一个向量阿尔法
这个向量阿尔法是完全同样的向量然后呢它可以被一组机呢表示但它表法唯一的意思是什么呢注意这个上面的一丛一和下面的一丛一一从n 也是完全一样的所谓表法唯一的意思就是说则x i 等于y i i 是从一一直走到走到
那么这样子的话也就是说阿尔法在一层一层二一层n 这组坐坐标轴上所以呢你看我们有好几个名词一个就是说呢是把它当做一个基还有一个呢是把它表示成是坐标轴上的单位向量也就是说我们把一部分一和二一部分m 当做坐标轴上单位向量的时候在这组坐标轴
下的话阿尔法它所对应的坐标一定是唯一的不会是别的所以这个在数学世界特别重要那么在数学世界比如说一个数学对象的话它必须就是一个名字它不能两个名字如果有两个名字的话这会出大事儿的这就是唯一性定理唯一性思想呢大家在数学学数学的时候上大学数学的时候第一次还不是在高等代数不是在线性代数这个学科学到
的因为我们现在学的东西在线性代数里头稍微可能接近期中考试而一开始大家在微积分数学分析课或者是高等数学课上一开学就很容易立刻碰到一个唯一性的思想那个唯一性的思想对于绝大多数人来说他们是人生当中第一次碰见的唯一性思想那个stanley 你的微积分你有没有复习呀微积分
高等数学没有复习我我就按第一张好像还没还没弄完行辕能不能说一下就是说在微积分高等数学里头你碰见的第一个唯一性思想是极限吗哎对对极限的唯一性什么hello 唯一确定的一个不是说的是极限的唯一性定理也就是说n 趋于无穷的时候a n 如果它既等于a 的话又等于b 的话那a
和b 相等唉我们一定会推出a 等于b 相等那么有人就会说哎呀你这个这个有啥证的呀这不是就必然是这样实际上呢我们极限的一次方德尔塔语言一次方大n 大n 一边我们之所以那么设计一方面是为了表示表示出无穷接近的思想另一方面就是为了有这个唯一性定理那么如果极限没有微信定理
的话我们会出大事儿的我们这个世界会出大事儿的为什么呢雨晴你知道吗你要知道你替我说一下就微微积分中极限定义之后的第一个定理是微信定义那我们为什么这么需要一个唯一性定理我说一下我的理解吧如果极限它不是唯一的话那我们就无法确定这个比如说他的它的变化过程你说的还稍微有点虚哈
我们找一个数学系的同学说一下哈那个我不知道我当年跟陈文英说过这事儿没有因为陈文英是我的硕士生他那个我不一定跟他说过我看看今天有没有这个普文英你能说一下吗你能开麦克风说一下吗全明星好像来了是不是又退出了
陈文英在吗何成英你在呀来开会议能听见吗他可能那个那我就直接说哈这是因为我们知道微积分未解未解决的是物理学的问题物理学中的速度实际上是由我们的导数决定的这个世界上你实际上用物理学的方法测量仪器是你从来测量不出真正的速度的哎q q 你就可以跟你儿子说
了q q 你以前知道这个事情吗就是说你在真实的世界中你实实际上从来测量不出速度的你只能测量出什么qq 你能说一下吗就在真实的世界中你使用真实的物理仪器你从来测量不出速度的你只能测量出什么说不出来那让斯坦利说一下
哎你就可以跟你儿子说了后面哎哎小龙你看只能测出一段时间的叫什么测出就是一段时间的速度变化我不知道那个叫什么我们平常心说的对哈平常心是心软的还是在我们以前就有的平常心说的对哈平常心还有说的对就是说我们只能
测出平均速度实际上我们测量不出瞬时速度的所有我们在物理学上推导的瞬时速度微积分中出现的瞬时速度只存在于我们的数学世界之中你是真实世界中你从来没有说我能测量出一个物体的真正的速度你测量不出来你只能测量出这个物体在这个它的是它的这个
在某一段小的时间内的平均速度然后希望那个小的时间越来越小最好但是呢你真实的物联物这个这个物理测量工具它不可能无穷小的它只要小到一定精度它就不可能再小下去了那么而且呢根据那个history bug 测不准原理他说
你实际上你在理论上你也做不到这一点你不断的你精确下去你精确到最后的话你就会模糊你就没有办法再精确下去了从理论上来说你没有办法获得真正的精确值就是从即使从物理学的理论上来说你也获得不了精确值所以数学世界是一个实际上跟我们的真实世界
是不一样的数学世界是一个完美的虚构的世界所以大家呢比如说考试的时候答出来的那些顺顺时速度在真实世界中其实从来没有这是数学世界虚构出来的但是他可以逼近我们的用来解释我们的真实世界并且误差不会太大好所以既然这样子的话我们就会出现问题就是说速度
就牛顿发现速度就是导数而导数就是由极限的定义出来的你的极限如果是两个的话那就世界就完蛋了那世界一个物体就会同时瞬时速度就会有两个那就会出麻烦了所以唯一性定理在数学上在物理学上非常重要而积分也是一样积分也是由这个我们的
那个极限定义出来的积分在物理学上就对应的是做功所以如果极限不为一做功就不为一结果呢你一个人干活他能够出现两个不同的工那这个这个也是事件会很出很大的问题的所以唯一性这个思想对于我们数学是很重要很重要你看今天在座的还有
我的几个本科生也捧场参加这几个本科生你们看见了吧你们是不是享受到了很好的这个数学教育我要给我们的本科生吹牛说说哎呀你们那个享受到的教享受到的这个本科生教育应该珍惜呀他们可能有些同学不相信你现在看我们其实来的这些家长都是我提问的家长好几个都是硕士而且都是名校硕士好所以
大家一定要注意就是我们学数学主要学的是想法哈好那么我们现在呢就是为什么就对这个唯一性很重视现在我们来点代数学我们来点代数学我把这个东西我拷贝一下所以我们会把我们下面要弄的一些东西我们现在刚才说的东西数学推导都不太多哈我们现在来稍微
多一点的数学推导我们在一个新的页面来稍微多一点的数据推导大家来看一下哈好那么在线性代数里哈它这个有一个很很有意思的地方就是说我们如果表如果任意的向量阿尔法它是表法唯一的我们就可以推出零向量的表法肯定也是唯一的零向量的表法肯定也是唯一
的也就是说我们要证这个是显然的因为任意向量对那你当然就可以推出零向量对对吧好那么我们实际上呢还可以有一个更深我就是我只有一个零向量的表达为一我就可以反推出任意的向量表法为一这是线性代数这个学科的一个特点就是以一代全以一代全就是我一个就
能代表所有人只要我这一个人就有这样的性质我这个上面的任意点都具有这样的性质所以我们证明一下由下到上所以我们的数学科普还是要有点儿证明的我我的意思就是说数学科普还是要有点证明的不能光是讲故事不不能光是讲那个迪迪卡尔不爱睡觉我就不知道那个比较爱偷懒
这个躺在成天躺在床上那个顶多加上三十秒剩下来的我们稍微要来点儿数学的推理那么为了跟因为我们零向量是指的是什么呢零向量指的是零向量是指的是他这样的写的d 就坐标里面都是零所以为了跟普通的零不太一样我估计把它写成零向量写成西塔的形式那么零向量表法为一的话我们
是不是怎么样去证明这个就是其他的向量表法为一呢现在我们给同给大家家长们成年人们哈展现一下我们数学系的证明方式也就是说我们底下的是已知的表达唯一是里面已知的上面的呢是未知的上面的是位置的我要证明的
是这个我要证的是这个也就是说我要证什么呢其实要证的就是说任意的阿尔法是它是属于r n 那么阿尔法呢可以写成x 一一乘一一直在加加省略号加到x n 一次方n 等于y 一负一再加上省略号再加上省略号y n 一分钟n 然后呢我说因为有这个条件了因为有我们这个条件零向量的表法为一所以呢
我就可以证明出来所以我就可以证明出来x i 等于y i i 是从一走到n 的我就能挣出来那么现在肖老师肯定在底下正在推肖老师你是不是正在拿纸在推这个事儿没有没有我我没跟上他那那你没跟上你就要
随时打断我呀你没跟上我不好意思我我我我一直在听我一直在听慢慢的琢磨好现在呢我们要证明的就是x y 等于y i 对吧好肖肖老师我们现在给肖老师一分钟时间哈我就不能像我跟他有时候就平常有时候我跟他聊天的时候我都会等着他自己在
那想肖老师是个特别爱学习的爱思考的人然后碰见这种题的时候他的瘾就特别大他就在那去想所以我很喜欢跟他接触哈有时候我喜也喜欢跟他开一些不合适的玩笑哈然后呢那个所以呢这时候呢我们哎去要去证明这件事情那么
这个时候要证明他的时候哈我们的肖老师你就告诉我你下一步要干啥吧肖老师我是不是要反证法我是不是要用反证法假设不用反证法因为在这种题目中它跟数学不你看着很像反证法但是它实际上不用反证法直接推推推最后就推出x y y i 你看这有两个对吧你看这有两个x i
y i 你以为我要用反证法其实实际上呢这个地方一点不用反证法因为它就正着推正着推最后推出x i 等于y i 所以不需要假设x i 等于y i 不等于y i 反证法就说哎我反正假设x i 不等于y i 但是这个地方其实没必要这个地方呢用到了数学上的一个就是说下一步的话他用到的想法那个
你来说一下这个肖老师你说一下我没想出来下一步的话哈实际上呢就是看见一个数学公式现在是看见两个数学公式了对吧然后看见一个等号在我们线性代数上对艾瑞斯说的对艾瑞斯开麦说一下你直接说一下我来写艾瑞泽是因为是两个式子相等然后就让一式减去二式然后讲了之后就就形成
了x i 减去y i 嘛对然后两两个相同的东西一减等于零了所以说每一个单项都是零就证明了它相等一式减二式的话那它就是什么呢就是实际上这就是我们代数学代数学的一个特别的地方还有方程方程的一个地方你只要看见等号哈你从小到大的条件反射都是什么就是加减乘除你想想看你只要
看见一个等号你下一步的条件反射从来的都是加减乘除给等号两边加减乘除然后你到了大学了学了微积分有一个极限哎除了加减乘除以外你可以用极限可以用积分所以这都是套路了所以阿尔法
减阿尔法就是零向量然后呢他们相减就是对应分量相对应系数相减就x 一减去y 一我们中学叫合并同类项再加上x n 减去y n 意思为好现在艾瑞斯你接着帮我往下说下一步在干啥对那下一步就是它等它等于零然后
那我们就得令它的系数等于零不是这个地方你不上了因为无限量的表法是唯一的你要用这句话这是我们的已知对吧这是我们的已知条件然后再下一句话怎么说所以我就是现在让你体会我们数学系是怎么干活的了因为零下所以你
其实你你你刚才你有一个问题就是你没有用到已知因为零向量的表法是唯一的这一个唯一我就更可以证明所有的其他无穷的向量的阿尔法的表法也为这个实际上就是阿尔法的表达王佳说这个地方我不太懂我没太明白这个零向量表卡位移向量表卡位移又什么呢又唔零
向量是不是可以写成零乘一送一加上省略号加上省略号再加上零乘一分为n 它已经有一个表法了对吧这个表法也是对的对不对这个表法是对的它实际上就是哦明白了就是零零零零零对吧是不是但因为我们的已知条件说零向量在我们这种一从一一从二一从n 的表法下是
唯一的这是已知条件的所以呢所以我们所以我们就知道了什么呢而现在我们有另我们还有一种表法是什么呢它是在这儿大家来看在上面又是一个表法下面又是一个表法但是我们的已知条件说零向量
的表法为一那就说明什么呢那就说明我们的这个x 一减去y 一它必然等于零表达为一的话那你x 一y 一必然是等于零如果你不等于零你就是另外一种表达法了呀所以呢他就也等于x n 减去y 元那么所以呢我们就得到了那这样的当然x
i 就等于y i 了所以阿尔法的表法也为一所以线性代数这个学科的特点是我一个东西具有特点我一个就是只有一个东西具有零向量具有表达唯一啪一下就推出我所有的向量都具有表表达唯一了这是线性代数的这个学科的特点因为线性代数就是加减乘除比较简单
数数乘它连除法都没有就是它就是加减数乘它连除法都没有所以呢他就相当于我在一个点上我具有的性质我就可以平移到任何一个向量点上都具有这个心智这在线性代数这个学科往往就是这样是成立的好好现在大家对这个手写板上的内容有没有
问题有问题的我解释一下如果没有问题的我回到我的提纲的那个地方然后我们开始往下讲好稍微来了点数学吧哈这个数学的话就是让大家体会到我们这个学数学的这种思维方式还有这个我们大学数学系的一个一些证明
方式哈当然这就是大学数学系的一个证明大学数学系要学一年的东西它肯定不会这么简单哈这个证明在我们的大学数学系属于入门的简单的哎平常心你问的好零表法为一怎么推到任意向量表这个就我们已经推出来了呀你看零向量表法为一是我们的这个这是已知呀在这儿
然后我们任意向量表法为一是在这儿是要正的我画我画上两个框一个蓝框一个黄框当我们证明出x i 和y i 相等的时候我们就证出是阿尔法的是因为我们这个阿尔法是任意向量的所以这个任意向量它如果有
两种表法的话然后呢我们在我们的已知零向量表达为一下我们就得到x i 一定等于y 既然x i 一定等于y i 那么我们就说明它的阿尔法这个任意向量的表法如果它有两种表法的话我们已经证明这两种表法的系数其实是
完全一样的x i 等于y i 所以说明表法就为一了好哎这件事情那个王老师那个零向量表法唯一是我们人为规定的还是不是这个大家注意这是刚才就是说像你看刚才我讲过程讲的时候是这样讲的就是说如果阿尔法的这个任意向量
的表法为一我们很自然就可以推出零向量表含为一因为零向量肯定是任意向量中的一个向量就是所有愿意的大家能推出我们但是就是为了跟大家说实际上呢如果你假设零向量表法为一的话我们也可以推出任意向量为一所以我们真正现在干的事儿是什么呢干出来的是他俩是一个充要条件也就是说我们证明
出这两个是充要条件证明的是这件事情就是任意向量儒表法为一跟一个零向量表法为一的话实际上是充要条件你把这个零换成其他的向量比如说比如说就是其他的任意一个你给定的向量为一二其实都对但是我们现在呢为了我们后面讨论方便我们就专门写成是林向
良影响力表达给你好还有没有问题同学们还有没有问题好那我接着吧我们接着先回到提纲看一下哈我所以我给大家的这次这个讲座我还是提纲我觉得还是挺有挺满意的我说你现在哪个年轻人要
能写出按照我这种讲法去把这个线性代数讲出来的话比如说他学线性代数只学了在就是在学线性代入之后两三年之内它能够达到这个水平我都觉得相当了不起了因为我是讲线性代数课程高等代数课程课程讲了好多年之后我才才把它归纳成这些特点好所以线性代数的学科的特点在
我们本讲座中第一次显现了那么我们就有一带腕带岂不就不是不只是腕带无穷了那么现在呢我们说为数背后的老板是线性无关性实际上跟零向量表法的唯一性非常非常有关系也就是说在我们线性代数学科里头维数这个东西
实际上还不是最底层的不是最基础的在我们线性代数这个学科哈那么线性相关性和线性无关性哈实际上呢才是最基础的我们真正是用斜线性无关性来定义积来定义为数以线性无关性这个概念为基础我们必然会得到两组积必然有相同的个数好那么我们现在先给大家来介绍线性
无关性的这个概念哈好好唯一性这件事儿我们就解决了哈同家长们同学们微信还有问题吗好大家记住哈记住我们实际上就是说我们最开始的基的引入的时候实际上就是说首先呢就是它这个基这个阿尔法可以被基一层一一层n 所线性表出也就是写成x 一乘以一乘以一一直加到
x n 乘以一乘n 的这种形式你最开始的时候一次方一一次方n 你可以看成是特殊的就一零零一方n 就是零零零一但是后面的话你这个一乘一一乘n 呢就可以认为是抽象一般的但是他抽象一般但是必须满足两个条件第一个条件就是说他这个式子必须是对第二个是
这个式子对的时候而且还要表满足表法的唯一性这样它才能是一组机也就是说一组机必须满足这两个特征这是一个比较自然的情况我一一个自然的理解就是我觉得这个在数学上应该大家觉得哎呀这样规定比较比较自然因为如果你不唯一的话你你这个就会出事了就是我们前面说的这个表达不为一个就说明你这个就是同一个人有好多个名字
就相当于这个人就变成间谍了特务你看在现实世界中一个人有好多个名字基本上只有特务才才是那样你看中国的身份证号的话你一个身份证号你只能对应一个名字一个人你不能一个人有好多个身份证号好多个名字
基本上这个人就变成间谍了对吧所以我们数学世界是不能有这种人的哎那么现在我们来看线性无关性哈线性无关性呢现在就完全不考虑线性表示的问题了线性无关性就是说的是阿尔法一我这样写就是说阿尔法一阿尔法m 的话它是落在那m v 空间中的但是我们说它线性无关的话是不它满足几个条件
说他线性无关的话满足几个条件呢就是实际上呢就是说的是什么呢我现在直接跟我们的讲座联系在一起我们先不用书上的教材其实这个书上的教材的定义是完全一样的就是说零向量表示成这些阿尔法一阿尔法m 的线性组合的时候它表法为一急x 一等于多少x 二等于多少x n
等于还有x sorry 这个地方是我刚才这个地方写错了xm 就是x 一阿尔法一加上x 二乘上阿尔法二一直在加到x m 乘上阿尔法m 它的表法为一即x 一等于多少x 二等于多少x m 等于多少肖老师你说一下如果说零向量在这样写的时候用用阿尔法一阿尔法m 来进行表述的时候
表法为一的话就说明它前面的这个系数x 是多少哎你说说白了这一个是确定的所以你没有听懂刚才的话你有没有听懂刚才的话零你刚才有没有恍神你没有好x 一等于多少你能告诉我的x 二等于多少你也能告诉我的x m 等于多少你也能告诉
我的stanley 你能告诉我x 一等于多少是不是零二零对呀都是零为啥都是零呢首先这个所以这个肖老师你把刚才的证明给忘了我我重新给你票给人家首先是什么呢零向量是不是等于零乘阿尔法一一直再加上加上省略号零乘二的m 肖老师这个对吗因为这个这个这个我知道这个前面
咱们证明过因为零乘任何向量都是零向量对不对然后零向量下降仍然是零向量对吧ok 所以这就已经是一种表法了对吧而现在又说表法为一既然我已经有一种表法了那么我的另外一种表法表法既然它已经表法唯一的话那么就说明我们原来的这个提示中的这个表法x 一必然等于a 零x m 哦哦哦哦哦哦哦
改改改好了改好了对吧是不是是不是说明你刚才没有没有学通那你刚才没学通这个地方好好我们我们的讲座是稍微要互动一下否则大家听数学很容易听着听着就瞌睡了吧听着听着就其实就前言不搭后语了表面上觉得懂了但实际上呢就好多地方有些
地方其实没有把逻辑链条连在一起所以大家就注意了这个地方其实都是线性代数里头的基本的东西比如说我们说其次线性方程组只有唯一解啥意思其实就是只有零解因为什么呢因为其次线性方程组其实就是把常数项去掉的它零解肯定肯定是它的解又又说它
只有唯一解那么零解已经是你的解那你只有唯一解那就说明你的解是零解所以其次向心力方程组我们都不说它只有唯一解我们都说它只有零解因为只有零解跟只有唯一解在线在线性代数上来说对这个线性方程组是完全一样的就其次线性方程组好当然如果那个线性代数学的少的同学我刚才说的那一段话不用管它
哈就具体看书的时候就行好那么这是线性无关的说法就是阿尔法一阿尔法m 是线性表法唯一那么表法唯一为啥就叫做线性无关了呢而有些这个说哎呀你这个表法唯一你为啥又给它取了一个名词把它叫做线性无关呢我们现在来看一下哈是我们来看
一下数学系上的这个数学系上的标准的这个定义哈好这是一个定义左边的这个定义右边的定义跟它是完全顶等价的哈是数学系上的关于线性无关的定义也是同样的就是这个都是可以给他拷贝过来的都给他拷拷贝过来好那个线性
无关的定义好那么我们就知道这个线性无关的定义的话它实际上会决定基的意思所以我们说它这个的话为啥叫线性无关呢它这个英文的名词叫做linearly independent independent 也是就是实际上我们相当于是直译
的我们相当于是直译英文的意思这就在于什么呢就是说任意的阿尔法i 和属于阿尔法一阿尔法m 他都没有办他都都不等于什么呢都不等于其余阿尔法j 的线性组合都不等于其余阿尔法j 的线性组合这时候我们就把它叫做
线性无关那么也就是说我哪怕比如说我拿出阿尔法一出来那么阿尔法一出来以后它不可以被阿尔法阿尔法阿尔法m 所线性表出也就是说你阿尔法二阿尔法m 的线性组合呢你表示不了阿尔法一也就是说我们用阿尔法二阿尔法m 的这个线性组合替代不了二八一替代不了二二八一那么
我们就说它线性是无关的好因为我们的这个斯坦利它实际上线性代数已经学了哈我们现在用另外一个记号来去写去写这个记号我的本科生还没学到因为他们才上学期然后呢这个是下学期才能学到的知识我用另外一个记号来写
阿尔法二阿尔法m linux bank of 阿尔法二阿尔法二阿尔法m 这个叫做linear 好现在那个studying 你说一下告诉我这个等号右边的这个集合怎么写你来说我来写一下等号右边的我想就是l 就你这边是l 二到问我一下这是阿尔法二到阿尔法m 嘛也就是linux 单位阿尔法m
就是阿尔法阿尔法m 所形成的线性扩张那这边就是l 阿尔法二然后是不是这样我我我有点不知道了然后l 二和三让你写上去等号左边是被等号右边所定义的嘛所以这个定义是什么相当于是你你能不能说出来定义的话就是是是不是点击
不是不是你看我们正在说线性组合的你你这个是这样你这样子学不行你这样子学的这个很多基本的东西都都这个这都是基本的记号全世界都是一样的这个记号全世界都是一样的它这个历练方案的话你用的教材也都是有英文的有中文的都有对吧没有我之前
找了一个速成的上面是一些解题的东西我还没有完全看那个教材然后呢我们那它都是属于实数哈所以所以你你你这都回锅了哈然后那个另外那个stanley 跟我很熟了哈我们都认识好几年了所以我跟他老开玩笑所以我们就可以看到这个这是什么
呢这就是说是其中a r a m 呢是任意的实数也就是说我们给大家画个图吧哈大家画个图你看这是阿尔法兔比如说这是阿尔法三然后这是阿尔法四然后画画画这一直画到阿尔法m 也就是你把每一个up to 这个画出来以后的话然后呢他们这些只要通过线性组合所
能够形成的这个空间占有的这个空间哈我们把它就叫做了l 阿尔法阿尔法m 所以r 三是什么呢大家可以看例子哈所以r 三实际上是什么呢r 三实际上就是linux bank 一分之一一分之二一分之三这个一分之一一分之二一分之三就是我们刚才说的一零零零零零一零一零零零零一那些向量也就是说它就等于的是a 一乘一再加上a
二一乘二加上a 三一乘三a 三一分三然后a 还属于实数好好那个很那个你看探秘就是学习的时候有时候经常学着学着就是说反正学着学着都困着坐在那个桌子上了哈非常好学像这样已经都成为家长了还非常好学的人很少哈但是一定要注意就是说
我相当于对你做了一个小测试哈一定要注意了把这些地方真的弄扎实了你不是你时间已经投入了嘛但是你是不你你不是说没选时间都投入你我看你那个课表线性代数课程的是每周上都有一个历练二十五日的时间但是你要把这些就要到位所以我们今天的
这个讲座也可以帮助你去就有对现现代数学课有个大概的了解然后再次学就容易很多了可以好的好的对的所以我们就可以看出来什么呢看出来这个记号的含义哈然后现在我们来说为啥这线性无关了呢这是因为大家看哈我们前面说阿尔法一
不能够被阿尔法to 阿尔法m 所限于淼锄对吧那么这个意思是指的什么呢就是你阿尔法一不被包含在阿尔法二阿尔法m 里也就是阿尔法二阿尔法m 大家看下面这个图它会形成一个天罗地网但是这个天寒地冻的包不住阿尔法一阿尔法一还是逃脱了不在它里面所以阿尔法一呢就跟
阿尔法二阿尔法m 实际上是没有关系你都包不住我所以我跟你没有关系如果你能帮助我材料有关系而且呢线性无关的向量组还不是一个是说的是什么呢我从阿尔法一阿尔法m 这个向量组里头我任意找随便找出任何一个向量都不被其他的向量所线性表出所表示
出来那么他也就是说互相之间全都是不在对方里头互相谁都控制不住谁谁那么我们就把它叫做线性无关的好那么这个线性互关的话我再给大家一个直觉上的解释哈就是说我们比比如说有很多个向量我们还是用
这个阿尔法一阿尔法m 来说阿尔法一阿尔法它落在r n 空间中但是m 可能很多了哈m 不一定很少他可能很多很多这样子的话我们可能是什么呢可能就会产生这样的一个情况比如说阿尔法m 就不妨说阿尔法m 它落在l 阿尔法一阿尔法m 减一的空间里头也就是说它可以被阿尔法一阿尔法m 减一
所限淼出所以用这样的这样子的说法其实学生比实际上是比较好接受的但是因为我们国内教材的原因我们国内教材就是说他在上学期讲线性无关性的时候还没有使用到我们的这个记号他在讲上学期的线性无关性和线性表示的时候他没有使用到linux band 记号
所以呢其实呢反而让学生呢在直觉性上会稍微差了一点注意假设这个是对的哈如果是这个是对的既然阿尔法m 可以被阿尔法一阿尔法m 减一可以线性表出的线性表出的话那么我们就说哎呀那你我干脆就把你扔掉你不要了反正你比其他人能够把你表示出来嘛所以呢也并不重要我们就接着
看下面的阿尔法一阿尔法减一所以今日呢就以此类推在阿尔法一阿尔法m 减一里头我去找哪一个向量哪一个向量可以被契约的向量所进行表述如果找到了之后的话哎我就把你扔掉最后呢经过有限步以后我就肯定就
会得到就是一个阿尔法一阿尔法r 它是线性无关的线性无关的了它是线性无关的但是呢他但是呢你不能再比它少再比它少它就不能表示出原来的所有的向量了你就不能再少到这儿就不能再少所以我们把它这时候叫做极大践行无关锁极大线性无关处这就像一个单位里头一样叫精兵简政所以有些人我们现在那个q
q 已经当官了哈他可能就会有这个感受了但是他肯定是不敢随便捡随便去裁掉裁员的哈那个肖培正想被裁肖老师想被裁那个就是说今天你要在一个单位里说哎呦这个人这个人可有可无
其他干的活其他的人能帮助他干完那这个人可有可无不要他了扔掉然后就这样的不断的扔扔扔扔到最后剩下来的精兵强将我们就叫做极大线性无关组那么因为他也就是说是他是这个极大的线性无关组的那么极大线性无关组呢其实就是我们前面说到的基本质上就是我们
前面说到的基好我们让想想看所以我们就可以看到呢我们以前说的这个一普通一一普通二一普通n 哈他实际上很容易的看出哈他们之间一定是线性无关的大家从这个来看哈非常容易的看出他们是线性无关的我们再做点数学哈不过这些都是口算数学不难我们为啥能看出它是线性无关的呢就是说它任何一个iphone 都不可能被其他
的一分一其他的一分一到一分i 减一和一分i 加一到一分i 被其他的这个线向量所线性表出因为一从i 是写成是这样零逗号到一这是第二位的然后呢导航零不可能被其他的表示出来对吧因为你可以看出因为你这个一是在第i 位的话其他的一分一到一分n 它的在
第i 位上全都是零所以其他的位置你其他的向量你再怎么写线性组合你不可能表示出这个一次方i 还有一个呢我们还可以这样子看就是说把它写成k 一乘以一再加上k 二一乘n 一乘二再加上k n 一乘n 结果我们发现如果它表示零向量的话它的表法一定是唯一的就一定能推出k 一
等于k 二一定等于k 表法为一就是表法为一注意等于k n 等于零这个是口算就能算出来的大家看一下大家口算一下是不是算出来了吧我们现在的大学本科生就做不到这个事儿了有些我们班上六十个学生里头可能有一半的人百分之五十的人这个口算就算不出来了但是可能对于我们以前的八十年代九十年代
的大学生来说应该口算还是立刻能算出来这个k 一k 二k 立刻是零的那个斯坦利你能口算出来吗现在这个k 一k 二k n 一定是零能不能口算出来斯坦利三你是不是口算不出来了你要不要我替你算一下s 三你能算吗艾斯
丹你在吗是不被我说的那个肖老师能算吗我也算不了了我我前面举手的一说王老师那我讲的慢一点儿你们讲的时候举个例子我们这个符号符号和定义这二十多年了这个网都差不多了光想着光定义
就是跟不上了都我现在不要求你记住以前的定义你只要能记住我这几十分钟之内讲的定义就行就那几十分钟也够瘦的了哎呀越积越多后面都跟不上是啥呢它就是k 一逗号零逗号零对吧算出来是这个对吧然后呢k 二一乘二是谁呢就是零逗号k 二逗号零对吧
数学科普还是说有点不容易然后一直在加再加到k n 一普通人他不就是零逗号零逗号你知道k n 吗哎我那些本科生肯定在这偷笑哈他说哎呀我们成天被老师奚落看来我还不是很那个还有别人同病相怜所以这个你就可能就是你看这肖老师
你现在看这个口算容易不容易这个就是k 一k 二一直到k n 了哦知道了一起出去帮我上上课了没事儿没事儿是哪个小朋友嘿你看它等于零向量等于零零零对吧因为向量对应向量相等所以就得出k i 都等于零了就得出来了得
出来吧哎你看这是不是口算就能算出来的好那个好我们接着来哈王老师那我稍等一下我我我前面那个地方提个问题没搞明白你说你说那个阿尔法一阿尔法二那个只只讲这个两维的那他们加起来加不出阿尔法m 来的时候我只能想到是零向量的时候加不出来还有
在同一条直线上加不出来那还有什么其他情况是加不出来的你来看这个很容易想你就在一个三维空间里头就能看出来你三维空间没想出来我我二维空间就没想出来我只想说那个零和一条直线上的你加不出来你三维空间吧你三维空间你看这是阿尔法一对吧对不对这是这是乘法是乘法不就是
没有乘就是就是l 阿尔法一阿尔法二那么阿尔法三不说他就说我想象不出来阿尔法我说你看看哦我知道了知道了是是我没搞明白定义为陈老师我我也明白了不好意思说说前面的事儿了我跟我刚刚哇塞我我想明白想明白了我刚才还专门要考你
一下然后你给跑了那个阿尔法等于m 二就是你看就是这个平面嘛就是这个就是这个这个叫水平面对吧就是这个水平面这个水平面上就是阿尔法一阿尔法二所形成的l 阿尔法一阿尔法二你看阿尔法三不在这个水平面上只要不在这个水平对都都是我刚才一直停留停留在这个
平面上没想到这个再再上升一个维度这事我我明白了明白那你随时问我嘛你有不懂的地方随时问我我还是可以回答出来的好随时问我哈好行好那么我们现在接着来哈我们现在再接着来好我们现在先回到我们的这个好我们回到这个你看我们稍微
来点数学就稍微就速度慢了一些了哈也就是线性无关性就任意一个向量不能够被其他向量所线性表示的这个起跑其实它不用变黑它是我这个地方其实没写任何字儿他其实就是你说就行
了哈那么任线性相关性就是某一个向量可以被其他向量所线性表示的就是线性相关系那么所以呢我们用线性无关性来定义积和维数的话那么我们定义出来的这个积就是实际上就是说它就是刚才说的极大线性无关素也就是说
首先你必须是线性无关的但是呢你不能再少你再少的话你就不能够表示出原来的销量了所以我们把它叫做极大线性无关组那么如果是无穷维空间不是就如果是无穷就像我们说的无穷的集合里头的我们就不叫极大线性无关
组我们就叫做积那么这个时候我们就会有一个问题这个问题哎等会儿这个问题我估计大家现在还不太容易能够这个standing 你要说什么其他理念我在我在那个看那个聊天聊天那个
艾瑞斯在在问是不是线性无关是不是理解成没有焦点我记得应该不是说没有焦点是线性关系其实就是表达唯一就我们刚才说的表达唯一就是他如果就是零向量在这组线性在这组向量下的表表法为一的好当然它在几何上的话其实并不是
说没有焦点几何上的话它其实呢其实就是乘法呀几何上我记得是是是向量的乘法向量的积吧向量没有乘法向量只有数乘还有点乘点乘实际上不是向量的直线运算对向量的乘法就是数乘好那大家现在就是只要能够把我这个讲座中
涉及到的数学不要忘了就行哈其他的你不用管哈那么所以呢现在我们就是现在我们实际上我们的机就是什么呢机就是说的就是这个意思就是说就是我们刚才我再给大家回顾一下哈我稍微再大家可能有点忘哈我们基实际上是有两层意思在我们刚开始讲的时候我们刚开始引入的时候的积的意思是吗第一层意思就是说
是任意一个向量阿尔法可以被我们的基的线性组合所表示也就是说也就是说阿尔法它实际上是属于我们这组积所张成的线性空间我用新的记号哈它其实就是我们刚才说的阿尔法就等于a 一一
次方一一直在加加加加到a n 乘上一次方n 其实就跟这个记号是一个意思只不过我们现在用积分号写法然后我们在引入的时候写的就是而且呢它的这个写法的话我们在引入的时候是这样是吧写法的时候这样说的是就是说它
呢表法为一我帮大家回忆一下哈而这个表板唯一的意思就是说因为大家可能现在因为毕竟是成年了不上大学了以后可能还是会不像大学大学的声音就像是你就像士兵一样成天要练这些活儿家长的话肯定没有这么多的训练的机会了就
相当于零向量的表零向量在这组积的表达下加k 的一部分n 的表了也是表达唯一就是任意无穷多个的标杆为一其实跟一个向量零向量的标杆为一其实完全是等价的这是我们前面说过的这个基
的第一个定义然后我们说积的个数呢实际上就是尾数也就是dimension v 的话实际上就等于t 的个数就等于m 但是呢我们刚才呢我们第二次复习第二次复习的时候我们说的积呢实际上呢又改了一个意思第一个
意思是说什么呢说的还是还是这个跟他第一条是完全一样属于一分一一分n 就是说首先呢你这个鸡呢一部分一部分能称为一座机能成为一组集必须是说对于任意的阿尔法这种来说的话它都能够被一从一一从n 所线性描述也就是说它能够落在一从一一从n 的线性组合里头第二条要说的是什么呢
就一从一一从n 它是线性无关的好这是我们的recall 二第二第二层意思我把相当于大家不要着急哈随时可以打断我因为相当于我把线性代数这个学科里头的很重要的这个脉络也实际上要讲好多次课才能够覆盖覆盖到的内容我一次课就给你们覆盖到了哈好当然主要是
他的思想数学系肯定他因为他有很多更细致的证明我现在就不管数学系那些细致的证明了那么recovery 是什么呢recovery 说的是另外一个就是什么呢还有第三个想法其实这些想法都是完全都是等价的哈也就是说他们都是可以互相推的然后第三种想法就是说一从一从n 是线性无关
的而且呢它是极大的线性物极大线性勿安素什么叫做极大呢就是说就说不可能比他更小然后能够满足前面的条件能够也就是说就是说他不可能再少了也就是说你不能就是一次用一衣服减一吧我就这样子写吧他
这个空间哈它就会变少它就不会是r n 空间了或者不会是我们要考虑的那个线性空间位或者先写成线性空间位也可以它就不能够把我们原来的那个空空间我们考虑的那个空间不能
覆盖住了它就会少东西了所以呢我们第三个呢就也说就把它叫做极大线性无关度也是可以的就是它在在就是它可以不断的少不断的是但是是再少一个哪怕再少任意其中一某一个的时候它都就不全了这个空间就不全了然后呢我们叫叫极大线性无关好我现在呢我们现在的
进度还可以哈我应该今天还再讲一会儿就能讲完了哈我再多讲其实我再多讲一次其实也没有必要为啥呢所以大家稍微辛苦一下要听我多讲我们已经讲了两个小时了哈两个小时零二分钟我再多讲十分钟或者二十分钟我们这个讲座就能讲完了所以我们就不需要再下周再讲
一次了所以请大家坚持一下哈然后呢我们接着就是说那你这个极大限行无n 组或者两组积的话一定会有相同的个数这个证明它比较难而且呢它超出了大家现在的就是这几位家长的水平这个家长们可以去看这个数学书了因为即使你就是没有看到数学书但是你就是就哪怕我帮着你推你也需要
有一定的数学素养需要那个大家可能去年的时候我们弄那个陶哲轩的那个自然数的平安的公理大家弄的还可以但是这个的话实际上比平安的公里的话其实他的数学素养还需要更高一些因为他牵扯到的东西多所以我估计这个我就不能帮大家弄
了就是我们现在说的两组机必须要有相同的个数这个这个我可能就不会一次我一次就弄不了了因为你们会脑子跟不上的那个如果你们有脑子能跟得上的其实如果stanley q q 能弄的其实我还是很愿意给他们用一次讲座就让他们搞明白但是呢如果他一次讲座
弄不明白的话我就觉得就没必要了你就像我们自然数的偏差多公里我们那些家长呢我们搞了一年四十多次才弄明白哎我觉得我也觉得这个很有意义肖老师你你跟不上你要提问一下肖老师你说你完全跟不上跟不上你的提问一下然后我如果能提问的话说明我还能
跟上我现在都已经不知道我要问啥了你其实就是刚开始你其实倒不需要太多你可能是忘了好多事儿你可能就是不记得你听过了些啥有可能是你不记得听过了啥这实际上就是学数学的一个很大的难关就在于这需要比较强的工作记忆能力所以肖老师为啥因为我很重视m
back 游戏你现在看出来了吧为啥我现在我非常非常重视n back 游戏你看出来了吧就是因为他这个数我们数学系需要非常强的工作记忆能力所以有时候你不不一定不是跟不上而是因为你把讲过的忘掉了所以这个这个就是有时候忘掉了以后就有容易茫然所以我们为什么让我们
的包括跟斯坦利后来也重视了就是说n mac 游戏因为n mac 游戏直接决定着孩子有时候因为孩子还是比较聪明高中学的东西少所以呢这个还体现不出来工作游戏工作记忆能力的要求但是社会大学数学系一上这个一年级的话n back 游戏就非常非常重要因为我们今天有还有几个来这个听课的本科生哈本科生注意了哈
一会儿讲座完了之后我就把那个肖老师他们编成的肖老师和郭老师一块编成的那个n back 工作进行游戏我发到我们的那个课前演讲群我发到课前演讲群然后那个我们同学喜欢玩可以玩一下那个实际上我也有点小小贡献是不我出的主意他们编的长然后大家试验一下当然
我们还我们最早玩的是一个日本版的n back ten 游戏但那个日本版的游戏后来呢他在苹果手机上被不能用了因为他在国如果你用国外的账号是苹果手机账号应该能用但是如果用国内的账号是不能用的叫做n
back ten 游戏是一个日本人编的然后我们做了一个小小的改进好大家可以查一下青猪游戏肖老师是青猪的创始人哈青猪游戏的创始人然后那个好他庆祝游戏主要就是做一些数学的游戏他自己对数学
也很热爱但是呢这个数学就是有一个很厉害的地方就是就是需要有很强的工作记忆能力好所以我们今天讲了半天其实就这张纸上的东西今实际上就是今天这一张纸上的东西现在我们屏幕上这张纸上的东西好我们剩下来的数学就应该不多了哈然后也就是说
我们这个证明的话我估计现在我们家长们可能都都不行都还不行了然后我们的本科生是这个证明学会了学过了但是能不能证出来还不太清楚本科生可以复习的时候试一试好所以现在呢我们前面就知道了维数是什么呢维数就是我们的线性方程组的那些自由变量的个数
而自由变量的个数的话是不是等于我们未定圆的个数也就是自变量的个数减去方程的个数呢是不是等于呢刚开始你也觉得哎很像很像但是实际上呢这个答案是不对的但是他需要稍加修改之后就能成立那么他稍加修改的这个等一下哈那么商家修改以后我来写一下哈等一下好我试一下好还有吗好那么稍加
修改之后的话我们这个自由变量的个数它就是等于什么呢它等于的就是n 减去不是m 而是我们的系数方系数矩阵的质而这是谁呢这实际上就是就是我们矩阵a 对吧行向量的质行向量中行向量的值行向量的痣而行向量的制就是等于是什么呢就是a 的行向量中的极大线性
无关组的个数好肖老师我考验一下你的这个这个就是工作记忆能力哈我刚才用精兵简政用单位裁员来描述这个极大线性无关组现在请你复述一下我刚才是怎么用用精兵简政这个成语用单位裁员来描述几大线性无关组的你不用数学公式不用任何
数学公式只要把我刚才的汉语复述出来就行了记不得了完全记不得只记得你写的精灵眼中精子还说了要剪掉我我是把那个书取走了想把他问起来呀肖老师所以你就要注意了所以你给你儿子的教育就是要大量的训练复述能力所以很多中国家长非常
忽视所以很多家长非常忽视这个夫妇能力因为他们也不太习惯就是在家庭中养成夫妇的习惯我是因为我有一个好妈妈我的妈妈特别爱唠叨平常我们在我原来年轻的时候我们在家就三个人在家然后我们家里饭桌上始终是有声音的但是我和我爸基本上不怎么说话都是听我妈在那复述各种各样的复述所以我对复述的习惯非常
非常非常非常熟悉因为我妈是一个特别喜欢夫妇的人所以你看我给我们的群主建议我说哎呀你要给你家里做做复述他说我儿子不太容易复述我说你儿子小我说的是你要去复述其实就是说我们群主做了那么多贡献对不对我所以把一些经验传给他希望他能像我妈那样当就给孩子
就会形成很好的一个影响那现在我们让q q 来复述一下吧q q 你能把刚才我们说的话复述一下你看刚才说的那个话里头不用任何数学公式哎哥哥你不是往往下说就是那个概念那个l 那个那个东西叫什么名字你不管不问现在哦好的就是我我记得就是
您前面说的是他少东西但是不能再少了再少一个就不全了是这个意思吧那你这个复数的这个语言表达还不够全面复述的语言表达还不够就是相当于你复述了以后听众还没懂这啥意思呀这啥意思所以你实际上把我刚才好多信息给漏掉
了你能不能重新再试一遍至少把话说全一点就是那些词儿那些那些名词我我我不记得了不那些名词都是汉语言你看我我你看我刚才说就说你都说汉语不说任何数学术语就把我刚才没有说任何数学术语的就是那些汉语的单位里的那些事儿
然后精兵简政哦你哦就是哦明白你说精精兵简简将这个这个事情嘛然后单位里那些事儿就是说这些哎怎么说就是人不能再少了再少一个就不行了但是那些多出来的就把它跑掉了多出来的人都给跑掉
了剩下的人就不能再减了就已经到极限了你你说的呀还有一些信息没漏没有授权我们让斯坦利在或者让那个啥吧艾瑞斯艾瑞斯你能帮个忙就是我们我我说的不知道我这个理解对不对然后就是说如果一个向量可以被集合中的那个向量然后加成系数之后
表示出来我们就可以把它拿掉然后我们拿到不能用单位里的事儿来这么说的我当时所以客户把这一句话漏掉我当时是用单位里的什么事儿来说的单位就是说你你你这个人做的事情可有可无然后就可以拿掉了就是你这个人做的事可以被其他的人做掉替代的
人替代对吧所以q q 把这句话少说了a s 你再接着说那我我的我的理解就是这样的如果这如果被替代了拿掉了就拿都不能不能再拿了对对对这个地方
完全是我对你说因为我有我有一个问题我不知道现在合适问吗你们你说哎就是说我那天跟孩子在看这个和比定理的时候然后就是说和比定理就是它那个分母分子然后就是只要你乘以系数然后做相同的操作就还是相等的我不知道这个东西是不是
跟跟这个跟我们今天讲的这个l 这个expand 然后有关系看看你这个就是因为我们现在讲的是向量你那个地方有没有向量呢我就是比如说a a 比b 等于c 比d 那你没有向量你这是刚刚光是个底而已所以这个数学不数学不做这种超级
联想我们这边要做一个有关系的联想好好好好然后我们再再接着来哈所以你看我们刚才就是考验了家长的复述能力所以大家要注意哈不要千万不要怕唠叨尤其对孩子我们所谓的唠叨是什么呢实际上就是复述而且呢复述能力其实已经是可以训练
的你像我们的q q 实际上是专业人士他是法律系毕业的高材生他的他的老师都是校长的都是都是我们国家名校的校长然后呢当然他呢也是法律形式毕业然后后面训练多年但是有时候他在复述的时候也容易会遗漏掉遗留遗留的一些关键信息哎所以确实我老婆在我的面前生活的确实挺痛苦的因为我有时候就
包括我儿子就有时候老觉得我我就觉得我想夫人你都是中文系博士你怎么说话老是说不全然后我夫人就说哎呀就是说你们为啥那个那个不能会议一下呢所以有时候我们这个就是脑子里我们就是有时候老是像就是有时候特别注重信息权的人就是有时候也是会给别人
一些压力哈我在生活中很不合适但是呢大家注意这对孩子的培养确实很关键的因为我们确实有非常非常多的家长他不注意在家庭里头养成夫妇的能力而夫妇其实就是学习夫妇实际上就是学习有复述复述能力基本上可以说它是学习的百分之八十
百分之九十的含量都是实际上就是复述的过程好那么我再给大家强调我们实际上在群里已经强调过很多遍了哈我们今天是实实战中再给大家强调一下哈好我有时候不太容易能看到这个行那么我们所以呢我我们的质是什么呢质实际上是a 的行向量中的
极大线性无关组他实际上就是什么呢就是a 就是a 矩阵经过高斯消去法之后高斯消去法线性代数中最基本的一个算法然后呢它这个是什么我就不说了哈因为我假定有些人还记得高斯校区法它其实跟中学中的那个线性方程组的消学消元法是完全一样的消成什么
呢消呈阶梯性化状组合这个跟中学的做法本质上是一样的哈阶梯型方程组消成阶梯型方程组之后的话其中呢这些阶梯性发生组中非零行的个数也就是非零的非零行其实也就是非零的方程的个数非零行个数也就是这个矩阵的值所以这个也就是说
我们就会发现呢这个n 减m 的这个公式它实际上呢是在这个阶梯性方程组的时候它仍然是对的这种特殊情况下的时候仍然是对的好我们现在接着回来在这个所以线性代数的教材呢它实际上是有三大块儿的内容求解线性方程组的问题维
数问题和特征值问题我们其实今天求解分析方程组大家知道了为数大家也知道了我们今天没有谈的就是这个特征值问题我们现在有一个新的说法把它叫做普理论了所以我们的高等代数企鹅组呢我们本科生的讨论班高等企鹅组用的那本书linear elderly downright 那本英文
书他就对这个特征值理论谱理论他讨论的非常清晰完善这在我们八十年代的高等代数国内教材里头国内教材都达不到它的一个程度相当于没讨论清楚就是至少没讨论完善然后国外教材现在做到
了现在呢就是能够达到这个同等级别的这个国外教材的就是国内教材都还没有还没有这个达到多少个所以有时候吧你说也没办法大家必须看英文因为你不看英文的话你这些信息你就获得不了因为它缺东西好我们最后说一下一点东西哈我我稍微再占用可能可能还要有十几分钟二十分钟的时间甚至三
十分钟的时间才能把勾股定理为什么重要这个地方有stanley 今天有录屏我正在录我和我的研究生各录了一份应该会双保险应该没问题然后呢就是说我们的这个我想把这个勾股定理为什么这么重要还是给大家说一下哈我们首先看看这个线性代数这
门学科的特点是什么呢它是什么它是由具体的特例然后呢到一般化的抽象定义然后再到具体的特例那么线性代数这个特点呢它有一个很好的地方就是说任何一门学科你只要你能把这个内容不光是变成数学问题而且你变成数学中的线性代数问题就是人类可以
解决的了但是如果说你变成微分方程问题然后呢有时候呢有些微分方程是人类又解不出来的甚至计算机解读很困难那么还有一个一些材料就是说百分之八十的理工科论文用到了线性代数好我们现在呢先把这件事情呢我们给大家解释一下哈大家应该稍微辛苦一下哈我尽量今天
就一次讲座完事儿哈我们不要用两次了哈然后呢我们看一下我先把这件事情给大家讲一下给大家介绍一下哈我们来看一下哈我们来看一下这句话是什么意思呢我们来看就是说我们从坐标向量空间哈我们知道r n 的话它是一个坐标向量空间也就是说它里面的元素每个点每个元素
实际上就是一个坐标然后x i 属于实数好这是现在它是我们的具体的特例就是我们上面说的具体的特例所以那个stanley 你看线性代数其实他说的就是要说这些事就是r n 呢然后我们把它抽象化抽象化成什么呢抽象化成一般的线性空间也就是
把周坐标线坐标向量空间抽象成一般化的一个线性空间black space 我们就把它简记成为那么为是什么东西呢就是说你甭管它是什么东西就是它是一个很抽象很抽象一个东西这才叫抽象值但是它需要满足一些规则这些规则呢
就是要首先它有加法加法的时候呢它满足了交换率这个大家肯定很有感情的尤其是tony 他们很有感情成天弄这个交换率结合率加法的交换率结合率一定要满足这个有加法而加法的满足交换律结合律然后有负成数乘就是k 乘上阿尔法那么数乘的话
也要满足相应的氯它也有结束成的结合律还有数乘关于加法的分配率我就直接写了哈数乘关于关于向量加法的分配率实际上是有两种分配率我就不说那么多了吧大家反正脑子里知道小学注解有分配率哈然后呢我们抽象化了之后然后线性代数这个学科呀给大家开了个玩笑哎这也是这个学科
的特点就是因为这个线性代数这个学科呀非常非常的它比较简单就是说或者就是说它实际上在数学学科里头它还是属于简单的学科就是那么因为它是线性的结果他开了个玩笑是什么呢就是说如果你的dimension 是v v 等于n 的话也就是说我们抽象化出来
的这个你看这不是抽象化出来的这个线性空间吗然后在我们前面的那些规定完全一样它的维数是n 的话则我们可以证明这个胃哈实际上就是同构于i n 的我这个地方说话稍微有点不精确应该实际上是v over r r 就是在实数以实系数也就是说它这个数乘数乘的这个数是实数是实数的时候实系数
实数上的线性空间的m a 线性空间的时候那么我们就可以证明证明出你为本质上你就是跟r n 是一样的也就是说你还又回到了一个坐标向量空间嘿又回去了那么这件事情呢就说明什么呢我们数学系就干这弯弯绕你看先从特例跑抽象化抽象化以后又证明了
任何一个一般的抽象的东西实际上跟特例呢完全是一回事儿但是我们却是自觉性的要为此呢学习半个学期的时间就是绕一下学习半个时间的时间但是你如果是非数学系计算机系其他系的学生呢那么如果你第一次学的时候你完全就是说我光学特例
就行了反正你这个特例坐标向量空间其实跟任何一个抽象化的一般概念是完全等价的完全一样的所以这就是我们线性代数这个缺这个的具体特例变成一般化抽象定义再变成具体特例然后我们数学系干什么事儿呢
我们数学系就是为了人类干活我们数学系就是证明这些中间呀这些步骤我们是为人类保证这些步骤没错是肯定是对的然后呢其他系的人呢就是说既然你都是对的那我就光学特例就可以了呀我一般话呢没必要学完所所以实际上对于绝大多数应用的人来说都是可以的但是你
脑子里要有这回事儿否则的话你没有这种素养你可以具体的很多证明你可以不用那么仔细的去证一步一步的推不用像数学题那样一步但是你这种素养哈还是要有你比如说我说的这些就是刚才讲重症生的那些东西哈我一问stanley 我
说哎这个linux ban 这个定义是什么你真要有因为这个linux ban 它就是在r n 中它也有这个特例中它也是要经常用到零点span 这些东西的线性扩张in space 所以是是要用到的好现在呢我给大家来一个我们最后的也是最精彩的部分
它这个故事呢仍然是体现线性代数这个学科的特点就是从具体的特例变成一般化的抽象定义再变成具体的特例而且呢它的标题可能也取得很好听就是勾股玄定理勾股定理为什么这么重要大家看得出来吗这实际上是n 为勾股定理那么这个n 为勾股定理的话大家看得出来这实际上
是勾股定理能有感觉吗我来写一下哈我来写一下我们看一下我们写的这个东西实际上是一个勾股定理大家看有没有这个知识哈就是说阿尔法的话阿尔法的话它如果写成的是a 一a 二点点点a n 的话那么阿尔法它写成坐标的话那么这个怎么变那么粗那么阿尔法的模长的平方的话那么在数学上
定义成就是a 一的平方再加a 二的平方一直在加到点点点加到a n 的平方哎斯坦利你知道吗这实际上是勾股定理斯坦利你清楚这件事情吗哦我不是太清楚那哇肖老师你明白吗我在我在
我知道那你跟大家说你说一下这个为什么就是勾股定理这个如果是在一个平面上的话是一个矩形的话a 一和a 二就算是这个矩形的一宽一长然后这个阿尔法呢就是它的对角线的长度你看这样就行如果是这样就行你看我们就看二维的说
a 一a 二就是这个点对吧它就是我们阿尔法这个点了对吧n 等于二的时候看那么这个点的模长呢这个点的模长阿尔法的模长的平方它是什么呢它实际上你看a 一是什么呢a 一实际上就是大家看一下a 一实际上就是红色线段的长度就是a 一然后呢我们的这个a 二的话就是蓝色长度的就是
a 二的话就是这个蓝线的长度这个地方就是a 二看出来了吧所以呢跟股大家知道勾股定理就是嫌这个高平方加谷平方等于弦的平方嘛所以a 一的平方再加上a 二的平方就等于我们这一个箭头的长度的平方所以我们n 等于二的时候它就是写成的是a 一平方再加上a 二
平方同样的道理你不断的往上建你三维的时候可以照样是要这样子建三维的时候你进一步不断的使用勾股定理勾股定理一步一步做就变成三维的三维的再证四维的四维的再证n 维的好大家把这作为一个练习哈练习想一下我三维的时候怎么做了三维的时候这个地方是a 一对吧这个地方是a 二这个地方是a 三我们怎么样证明a 一a 二a 三那个点
的模长平方实际上就是a 一的平方加a 二的平方加a 三的平方我们提示一下它其实就是把我们二维的勾股定理不断的用一下就行了不断定位我不能画图了我再画图就就画多了哈好大家可以
当做一个练习题做一下就是假定二维的勾股定理是对的我们可以证明三维的勾股定理是对的从而也证明人为的勾股定理是对的但是呢这还没有回答出勾股定理为什么是很重要的好大家可能稍微有点累哈我又没让大家休息我有点这个今天有点失策了哈其实应该在某个时间段让大家休息一下为了
让大家不要那么累大家注意凡是有任何后面我要讲的听不懂的地方大家立刻问哈立刻问我好我们再接着来哈现在呢我们回到我们的这个纲要纲要那么我们知道a 一平方a n 平方它是什么呢它实际上我们来看阿尔法我们刚才用代数的角度已经知道了就是说阿尔法实际上就是a 一一乘一加上a
二一乘二一直再加上省略号再加上a n 乘上一次方n 它的前面的系数其中呢一层一一层n 是一组基因是一组机然后呢我们那自然就现在就是说哎呀那如果我换成一般的抽象的鸡的话一般化的抽象化的鸡的时候我们自然有一个问题就是说在这种情况下我们的勾股定理
是不是仍然成立答案是呢在实际上是不成立的除非一种特殊的情况除非一种特殊的情况我或者我这样写吧或者就是说就是说他我们就是说这时候的话这组机的话它并不是这个就是对于一般化的机来说它并不是真正不是成立的那么需要呢对于一种特殊的级叫做标准正交基的
东西才成立那么标准正交基的话我一会儿再给大家说哈什么叫内交内基公式这个什么叫做标准成交基哈这个就需要点成了内基就是点成然后呢我们说标准正交期呢实际上呢注意它跟普通的鸡不
一样任何一个学科如果呀它能够制造出标准正交基的话就是任何一个学科如果它变成线性代数它一般能够有积但是它不一定能有标准正交集如果它能够产生标准正交期之后基本上这个学科呀就非常非常完美具有强大的威力好现在我来给大家演示一下这句话是啥意思我们来看一下哈我们现在来看
一下就是说标准正交基是啥意思呢就是标准正焦机呢就是说就是首先它已经是一组基了对吧一层一一层m 是一组基他满足正交公式正交公式长什么样呢我来写一下哈正交公式长的样子就是说是依从i 和依从j 进行点乘注意这就是大家理解的点乘也就是对应分量相乘那么点成就是
对应分量相乘就是你把它看成一个向量然后依次从这也是一个向量这两个向量呢它的那些坐标坐标分量对应分量相乘相乘了之后再加起来我们把它叫做点乘但是在数学上叫做内积
在物理学上叫做点长那么正交公式说的是什么呢说的是它实际上等于chrome neck 符号也就是等于的是如果i 和e 相等的时候注意这个是crown neck 符号这是一个著名的德国数学家的名字就是把这个记号呢我们因为太重要了所以我们给它
取个名字如果i 等于j 的时候是一也就是一部分i 和一部分j 呢它俩呢如果i 和j 相同也就是一部分i 乘上一部分i 的点击内积那也就是一部分i 的它的模长大家看一下我在这儿看一下一从i 乘上点乘上一从i 那么假设
英雄i 呢它的这个假设运动i 它的这个就是说是它的坐标是x 一一直到x n 的话那么它点成的话就实际上相当于是点成的是它的这个把它转制一下这是矩阵乘法哈中间这个过程如果大家不不太清楚的话点成不太清楚的话没关系哈就想想着就是对应的分量相乘就是x 一乘上第一个分量
乘上第一个分量第n 个分量乘上第n 个分量我这个中间的矩阵乘法如果不管不会的话不懂的话就跳过去就是直接想着第一个分量乘第一个分量就x 一平方加加加一直加到x n 平方那么它既然等于一了一方面它等于一另一方面
我们就知道了这个东西实际上等于谁呢这个东西实际上就是一从二这个它如果看成一个向量的话它这个向量的长度的平方这就是我们前面说的勾股弦定理对吧所以呢它这个向量的长度平方等于一那说明它的长度就肯定等于一所以这个标准来源于这标准这个词来源于这儿而正交
这个词来源于哪儿呢正交这个词儿就是如果i 不等于j 的时候就是零那么也就这个是来源于是啥呢就是说如果一个阿尔法和一个贝塔点乘小于零的话那么在解析几何上就意味着阿尔法和贝塔是垂直的我们在数学上呢把垂直呢就叫做正交了就来源于这儿好所以这时候呢有同有
有家长们可能就就会这个说困惑了说哎呀老师有了标准正交基因为什么就会有这个勾股权定义的意义这需要证一下第一有了标准正交基我能推出勾股线定理勾股定理就能这样所以呢勾股定理背后就像我们刚才说的这个积的背后不是维数的
背后维数这个概念的背后他的大老板是线性无关系而勾股定理的背后他的大碗大老板是标准正交基好这件事情我们今天不推了哈否则大家可能有点太累了大家可以好学的这这个家长们下去可以自己推一下就在教材教材中都有但是我们现在就给大家演示
一下稍微有一点点小小的数学后面就没有数学了我下面演示的就是我最后一个数学哈我今天有点失策其实中间还是要让大家休息一下那么我们最后演示的这一点数学哈实际上就让大家看出来就是说标准正交基为啥它特别有一个很大的好处呢它的威力在哪它的威力在哪我们来看一下
哈它的威力就在于哈阿尔法他不是任意的向量吗写成坐标的时候但是这些衣服和衣服那它不是不是我们前面的那些一零零零零零一它有可能是一般的抽象化的但是它是标准正交期那么在这种情况下它的系数x i 就会特别特别好求如果它不是标准正交
基的话我们去求解x 一x 的n 就会比较困难我们相当于要求解一个线性方程组那么我们知道虽然线性方程组它相对比较简单但是对于计算机来说如果n 比较大的时候的话对于计算机来说也仍然是一个困难的任务它是属于专门的一个计算数学的一个专门的方向怎么样把线性方程组求解
好但是如果它变成正交标准正交期之后就对于我们人手工都能把它算出来都根本不用计算机了手工都可以把它算出来怎么算呢现在大家注意哈假定前面的这个标准正交基正正交公式是对的然后我们的目标是求解出x i 等于多少可以非常容易的算出来它的
算法是这样看见一个等号我就给等号两边呢同时呢跟一普通一做内机比如说我现在想求的是x 一等于多少吧那么现在那那既然是这样的就是x 一就变成了一从一跟跟依托一进行内积x 一是可以提出来的哈在做内积的时候x 一可以提出来然后再加上x 二乘上一次方
二和一等于一等于几再加上省略号再加上x n 乘上一从n 和一从一做那一题结果我们就会发现呢你这些根据我们的这些内积公式你这些全都是零这些全是零而他是谁呢一不能一和一不能一的内积就是一呀所以呢我们就得到什么呢得到一个很好的事情就是x 一呢就等于什么呢阿尔法跟
一阿尔法和一比一的点乘大家知道点乘很好算就是对应分量相乘就是了所以这样子一下子我们就很容易就把它的系数算出来把它的坐标就算出来了也就是任意给一个向量在标准正交基下它的系数也就很好算出来也就是说它在这种标准坐标机的这种表示的坐标轴
一下它其实呢它的这些坐标是非常非常容易算出来的当然我这只是用一个习题给大家演示哈但是基本上就是说我们的标准对焦机会给我们带来巨大的好处强力的好处所以标准正交基就意味着有勾股线定义理那么我们现在呢又接着就会来一个这个问题没有就是我们以前
就是想着就是说那么自然就会想到就是既然是在这样的情况下的话我们就会想到是另外一个问题这个我就稍微说一下就可以马上就可以结束了哈就是我排除我们的特例是什么呢特例是我们的变成点乘就作为内积哎肖老师典藏没有问题吧肖老师典藏的定义知道吧肖老师
点成是不是就是刚才说的这个横坐标不是就是一个坐标和另外一个坐标相乘对应分量相乘你看点乘就是说阿尔法和贝塔这个分量相乘也就是阿尔法写成x 一x 然后贝塔呢写成什么呢贝塔写成y 一y n 就是x 一和y 一相乘x 二和二二相乘是这样
吧你还少说了一句话你还少说信息吧想加s n 和y s 上升你少说加号吧对对对对哎你看我们那些学生大学生就是非常容易发生这种丢三落四的问题所以数学系呢他干什么事儿呢就干的是经过训练之后一个人他不会丢三落四了包括你做的所以你比如包括这次讲座对你也会有启发就是说还有数据那我编的那些比较
简单的那些游戏怎么样去跟这个数学系的智对智力的要求去靠轨去接轨好我们再接着来说哈那么一般化的话我们就是说那些这点成的话变成一般化的抽象的那一集就是它不是点成的它是一个抽象的东西吧这些抽象的东西是首先它们
的全部是什么这是数学系解决的叫做正定二次型也就是说所有的抽象内积的话它就是高等代数书上的正定二次型那一块的内容然后大家可以查一下所以有时候有些人看这个增进二次型说哎这个数学系的第五章高代数上第五章怎么增加二次型呢所以考研面试的时候我经常
就问学生我说哎这第二次型学过没有他学过高代数上的第五章我就问他我说那你正定二次型的这个东西在这本书的哪个地方用上那他们就不知道了他们不知道实际上就是在第九章内机欧式空间用上他把它连不在一起明明学过这那样的题型也明明学
过那一季都学过而且他还考研的时候他笔试都通过了就国家线都通过了他才能进入面试但就这样的同学有百分之五六十的同学回答不出来这个问题也就是他就是学习就全部考试了对相当于是这样第一首先是这个但是还有一个呢就是说是就解决这样
的问题就是说它是实际上任意的所有的证件二次型其实呢跟我们的特例也就是说跟我们的点成呢它可以化为简称可以把它一转化又重新变成典型的所以你这个特例本质上来说跟原不是你这个一般化的抽象内机它本质上来说跟特例点成完全一样所以我们数学系至少大一的时候就正干这些
这这个事儿所以有些人就说哎呀你这个东西证明了一大圈其实你证明了其实还是特例那我光觉得它是特例就不就可以了吗所以其他系的学生确实是这样他可以跳过证明去做但是呢我们这学期来了一个我这我们这个大一班上来了一个数学
水平很高的学生他呢物理系学了一年觉得不过瘾不想学了转到我们大我们数学系的从大一开始重新学那这个人后来我一考察确实很厉害他的数学水平是属于那种可以说有天资的水平我准备把他我我开玩笑我是但是我也是认真的我准备
把他培养成未来的院士就是这个人他只要努力他将来是可以当院士的就是他的天资所以呢我们而且他他敢转专业而且从物理系转到数学系他实际上内心还是有这个自信的有一把刷子的但是他的知识量很少所以我后面还要问问他我说哎呀你怎么这么聪明数学
天资这么高你你怎么会弄的呀怎么弄所以我们班上有同学就是其他同学比那个同学就一下子还就是就是他能够一一下就证出来的东西我们同学可能搞上两三遍三四遍才能证出来所以我跟他说我说你达到了大三是大三学生的优秀水平但是实际上他可能应该比普通的大三
优秀学生还要强因为普通的大三优优秀学生可能也都仍然达不到他这个程度的所以这个很奇怪因为他实际上他也没有经过训练他也不是因为他多上了一年大一物理系因为物理系肯定也没教他的一些东西而且他学的也不多但是只要他会的东西只要是我们他会的东西他都能够像数学家的水平那样
回答的非常清楚所以这个是我我还不太明白怎么回事我到时候再问问他跟大家聊聊天所以这个呢就是但是呢我注意我们就是虽然数学系有这个特点但是呢如果是其他学科的领袖科学家实际上是应该知道底层证明的就像我们为啥要办初中数学抽象探索营就是为了培养未来的领袖科学家至少是不一定是数学方面
的其他学科的也有但是只要是领袖学数学家那个真正要创造的数学家实际上他们是应该知道底层证明的因为他脑子里有底层证明之后他很多东西他能想透他才能想通才能做出世界级的创新发明好我今天的演讲那个结束了哈
我们花了一百七十分钟的时间也还可以就是从这个时间上面当然我们集中在一次我告诉大家会比较累哈然后现在我们有没有同学这个问我们的家长呀有没有需要就是做一个提问的哈我中间阶段性我刚才没有给大家提问的时间我就一口气讲下来了但是如果
现在有想提问的家长能够想提问的可以问一下只要是跟本次讲座有关的都可以问一下还有没有好那如果没有的话我们就休息吧可能大家也需要消化吸收一下我一会儿把这个录屏发在我们群里哈我也会发在我们的
这个哎我我也会发在我们的这个就是我也会发在我的这个这个文档里哈这个文档在我的科学网博客上也有就是我们的这个录屏讲座也会发在这个科学网博客的就是科学网博客一直一点击我们的这个链接点击了这个链接以后就会进入我们
的这个我在文档进到我在文档里头的话我会再做一个这个录屏合同执行然后会把链接放进来好好那我现在就结束了哈谢谢大家哈