高一上01-集合的概念
作者：心一 · 时长 22:16 · 发布于 2022-08-23
视频文字稿
好各位同学大家好今天我们来分析分享一下关于高中数学这个集合的这个概念这一部分那这个课呢其实是整个一系列的第一课所以如果有任何问题欢迎同学们可以随时留言评论我们来看这节课的内容那这节课会分三个部分第一个就是先讲集合的概念然后第二个是表示
第三个是集合的符号那在这节课之前其实是非常建议同学们先观看智慧教育平台的这个视频课因为智慧教育平台的这个视频课的话其实把这一节课的内容它的基础已经讲得非常的好了所以先建议同学们可以把那个基础的课程好好的观看一下这节课的内容更多侧重在那个基础之上做一些拓展跟提高好
那我们就来开始首先来说集合的概念那集合的概念的话我们知道课本有课本的定义对吧那这里的话我们会借鉴一下这个陶哲轩在他的分析I 中给的定义当然他自己说这是informal 也就是非正式的那这里边的话他是怎么说的呢说我们定义一个集合是什么呢一个集合是any un ordered collection of objects
所以这里面有三个关键词第一个是un ordered 也就是无序的集合他应该是无序的第二个是collection 就是它是一堆东西那在数学上对我们来说的话其实就是集合它是要用花括号来括起来，表示它是一堆东西第三个是of objects 就是它是关于一堆数学对象的无序的一个集合collection
对吧我们可以从这个定义能看出来确实是一个挺非正式的一个定义好那这个定义中其实提到了无序性那确定性和互异性呢我们知道这两个这三个其实才是集合的三个性质怎么来理解呢首先集合作为我们整个以后数学学习的一个核心的也是基础的语言确定性是默认的
也就是说以后我们一定会非常确定的指定某一个这个集合所以确定性我们基本不用太怎么关注当然不是说它不重要而互异性和无序性其实它的本质是集合的等价那这个我们还是要回到特征圈它的这个十分这个分析 I 中的语言来看一下那在这本书中陶哲轩定义集合的等价是这么来说的说两个集合是相等或者说是等价的
那么是怎么来定义的呢这儿if and only if，这是一个缩写就是当且仅当的意思就是if and only if 就是当且仅当也就是它是如果说A 的每一个元素都是B 的元素并且vice versa，反过来也是如此也就是A 和B 是等价的是什么意思呢如果A 的每一个元素都是B 的元素反过来B 的每个元素也是A 的元素
这个时候我们就说A 是和B 相等那么他说to put it another way 也就是说换句话说A和B 当且仅当A 的每一个元素属于B 的每个元素也属于A 对吧那这就是A 和B 等价它的定义那为什么说互异性和无序性的本质其实是集合的等价呢我们来看个例子比如说我现在写一个集合{1,1,2}假设它定义成A，然后再写一个1
和2这个写成定义成B。我们来看一下这个A和B 是不是等价首先来看A 的每一个元素是不是在B 中一在这个一也在二在所以A 的每一个元素在B 中那反过来再看一下B 的1在A中，2也在A 中所以B 的每个元素也在A 中那这个时候我们就可以来说A 和B 是等价的
显然这个时候可以发现互异性它是一定对吧因为你不管A 里面写多少个1，最终你这个,1都是在这个只写一个的里边对吧所以这是没有问题的。那无序性又是怎么理解的呢比如说我们又写了一个C，把它写成二那B 和C 是一样的吗是一样的
还是可以验证。你的每一个元素在这里边它的每个元素也在你的里边儿所以顺序是没有关系的真正关键的就是元素是不是属于一个集合也就是所谓的我们这个确定性对吧那所以从这个层面来看的话集合的确定性然后互异性、无序性他们的关键其实都可以从集合的等价这个层面来理解
好那如果有同学说如果我就定义一个元素这个集合它的元素可以不呼应或者说他可以是有序的那可不可以呢事实上是可以的就是一个集合里面和我的这个元素我就让它是不互译的这个时候我们把这种集合叫做multi set 叫重集这个重集的话
可能大家会很少能够碰到它我们这儿给个例子比如说我把12做素因子分解那么这个时候它就会得到2、2、3那显然这里边我们是希望能够把12的这个所有的素因子都给列举出来的对吧那这个时候想让你只列个2和3就不足以反映它是12这个数对吧
这种叫multiset。而有序呢，有序其实这个事儿比如说我们给了个例子是注意我这儿用的是小括号，(1,3,2,0)和(1,2,3,0)对吧用小括号就意味着它这个时候其实已经不是集合了它是可以看作是一个元组的，n 元组四元组对吧比如就是四维空间的一个点的坐标那这个时候其实我们一般不把它看作集合
是看作某种集合里面的某个元素比如说这就是四维空间里面的某个元素那这个的话其实还是希望给大家稍微拓展一下就是关于集合它的三个特点的理解那集合现在我们它的特点明确了接下来再补充一个概念是关于集合的大小既然集合是由元素构成的那么元素有多少就能决定几何的大小对吧这个数学上也就把它叫成势cardinality
它的大小一般都是用这个像绝对值的这个符号来表示比如说A 的集合的大小他就是A 像聚合像这个写成绝对值的符号比如说如果我们把a 就写成刚刚的1和2那么显然它的大小就是2，有两个元素对吧好那空,集它的集合的大小是零有限集呢就是指元素的个数是有限
个，这个有限个的意思是指它是确定的一个数比如说哪怕你是十亿百亿但只要你是确定的就行所以我们一般把它写成小于正无穷就是它不能达到正无穷那么多对吧而无限集呢就是它的个数是无穷多那我们举个例子比如说有限集是截至二零二二年一月一号的
全球人口这个是确定的就是在那一天比如说二十三点五十九分五十九秒截止他一定有一个确定的人口数对吧那这个时候他是有限而无限集我们最多碰到的其实就是这么几个自然数集整数集有理数集和实数集当然以后还会学这个复数集对吧他也是无限集
无限集跟有限集的差别也会非常大而且这也是当年康托就是集合的发明人康托，他做的很多就是在当时看来非常有违我们常理的一些发现比如说一个特别简单的例子就是自然数集和偶数集的大小是一样的这个这个听起来会觉得非常奇怪比如说我们想一下自然数一二三一直往下走吧而偶数只是一部分呀比如说我只是写了个二四六八十
个点我们的自然的想法是偶数加上奇数才是自然数集你部分怎么能跟整体一样多呢但是我们的那个想法其实是基于有限集的情况来思考事实上这个论断是成立的大家可以思考一下为什么好我们继续来看接下来就到了集合的表示那集合的表示我们知道有两种方法
对吧列举法描述法。列举法的好处就是直观能够一下就看出来到底有些什么东西这个集合一下比如说一到十的自然数我列举了几个手机品牌对吧桌子椅子凳子点线面那为什么把这几个放一起呢
其实是因为数学中有个典故就是希尔伯特说，几何原本里面所谓的点线面的关系换成桌子椅子凳子还是没有任何的差别只要他们的关系存在就行所以我把这几个放一起是相当于有一个小典故那列举法的直观这个好处就是直观但是问题在于有很多的集合它是不好列举的
比如说无限集，这个没法或者说不是那么直观的就能够列举或者说不那么严格的能够列举对吧所以我们一般是要用描述法来表示比如说刚刚的一到十的自然数我们可以换成这个来表示。描述法的基本结构我知道他是大括号然后两个部分。左边是表示我要研究的对象它在一个什么集合范围内右边是它满足的性质
就是说x 满足一个什么性质左边就是x 在一个什么范围内像这个的话就是a 在自然数范围内然后它满足这么一个性质这个中间可以用冒号也可以用这个竖线来表示好那我们现在来练习一下比如说第一个。下面这个描述了一个什么样的集合呢首先，可能有些同学会觉得老师你是不把它写反了
不是应该把这个放前面吗然后第二个放后面其实这没有写反。这个如果换成另外一种写法可能大家会比较熟悉就是如果这写一个x 等于2a 加1 然后竖杠然后这个时候是a 属于N 这个时候大家可能就会比较觉得熟悉我要研究的是x，这个x 是个什么东西呢
他是写成这么一个2a+1的形式然后a 又属于这个范围所以你会发现我们研究的是一个对有些同学应该能看出来它是一个奇数集对吧那他跟我们往常不一样的这个写法其实就是也提示我们有时候我们不一定非得用x 来表示也可以直接把它的结构写在前面
然后它里边这个数本身要满足的一些特性再把它放后边也可以好这是第一个那第二个下面这个描述了一个什么样的集合x 属于实数，x 平方加一等于零对这是一个空集对吧没有任何实数的平方加一可以等于零
所以这是一个空集那我们看第三个练习。判断，说下面这个集合表示图中的直线我们看一下这个直线好首先注意，这个时候我们的元素已经变成了不是一个x 而是一个坐标也就是一个二维空间的点然后二维空间的点就可以用坐标这个二维数组(x,y)来表示对吧其实真正写的话应该这么写
就是非常完整的话是(x,y)属于R 上面再添一个平方这个表示二维数组或者说二维空间然后x 加y 来之所以我们没有这么写是因为这个符号可能大家还没有见过所以我们先省略这一步那显然，这个方程确实决定了这一个点对吧我们来看一下看一下他的，对和y 轴和x 轴交点没有问题
所以这是确实表示图中的直线好嘞那这就是我们前面的这个第一部分也就是正餐的一个部分我们就先说这么多接下来就到了甜点时间就是跟大家分享一下集合的这些符号我们可以怎么写这个写既是指用手来怎么写同时也是如果比如说我们想要把它写成文档写成这个文稿
那在文稿里面怎么能把它们打出来呢敲出来呢那第一个：属于和不属于的符号元素a 属于集合A，那么我们会写作a 属于A对吧手写的话就是，a 属于A，这个属于符号大家可以多练一练像一个圆圆的扁扁的一个大写E 一样至于出头不出头一般是不建议出头
但是如果你不小心出头也没有人没有人会这个太纠结这个事儿那不属于就是给他画一个斜杠但是可能我们真正关键的是说如果我就想在文稿中也能打出来这种效果这个效果是怎么实现出来的对吧这个时候就需要给大家补充一个特别有用的一个软件就是数学家们写数学论文
写书一般都是用这个软件来敲数学的相关的定理呀文字呀所有东西就它是一个数学排版软件可以非常精美的把这些符号表示出来那我们来看一下比如说在LaTex 中的话我们想要实现上面这个效果就需要这么来输入就是这样画出来首先，是两个dollar 符号，表示我要开始进行数学输入了
然后就按照它来输入就行a 属于但是属于其实就是a 在里边儿所以这个它的语法是a \in 大A 这个时候，当我们把它一输入然后一编译就可以出来这个非常看起来非常精美的这个符号那么大家可以想一下如果说a不属于他可能会是怎么样的输入对吧好
那接下来我们来实际看一下这个效果这个是我截了一个屏我们看一下这个动图那左边的话就是输入部分右边就是编译出来的文档的这个实际的呈现的效果我们先来输入比如说现在想输入a 属于A，那么可以这样写注意看，我这是先a 然后到了符号\in 然后大A。我们看一下这个这个效果是
怎样的，编译之后看下效果注意发现，这个属于符号出现了，属于符号是出现了但是小a 和大A 好像并不美观所以我们再继续改一下就是把那两个$的符号放在整个式子的最外边把里边的这两个消除掉再重新编译一下看一下效果我们再重新看一下效果好
这个时候发现a 一和大A 效果都是如我们想要的这个效果了那这就是属于符号它怎么编译出来接下来再看数集这个是我们以后最多用的所以我们来重点看一下那数集的话前面其实我们已经列举过了，自然数整数有理数和实数并且当时给了两种写法我们来看下这两种写法分别对应的是
什么我们以整数为例那么我们最多见的，其实课本上也是用的这种写法就是看起来很粗的比较粗体这个粗体在LaTex 中怎么输入呢就还是dollar 符号然后呢用一个\math b f 然后花括号里边儿，大写Z。这里面的bf 表示的是b old face 也就是粗体的意思
不是boyfriend 那另外一种，其实这个可能是现代很多数学家写论文的时候比如说他要表示整数他可能会一般偏好用这种但其实这种体呢它其实是叫黑板粗体就是最初我们先等会儿说它的历史我们先看一下它的这个写法它的写法还是两个$的符号然后\math b b，那b b 是什么意思
呢就是blackboard bold，表示黑板粗体好接下来我们来说一下这个这个为什么会有两种写法其实最初的话可能主要还都是用的这个黑体但是呢想在黑板上也来模仿这种黑体那比如说我们想在黑板上写一个粗体的z 可能就得这么这么这个描好半天
对吧把它描的粗粗的然后每一个都描的粗粗的所以后来这个数学家们发现这样不方便那有没有更简单一点同时也能表示这种的这个效果的呢其实就是这样子比如说我可以直接这样这样来写一个Z然后画一个衬线就可以了所以这个写法就是这样画一个衬线好
这就表示我现在用的是粗体当然有的也会这么写也表示是这个Z，对吧那Z 有了，N 自然数有理数实数也都是类似也会有对吧比如说自然数集就可以这么来写，画一个衬线比如说画一个衬线对吧也有人这么写的
也有人这么想都有都可以那q 也是有人是这么写的也有人对吧那r 你可以先写两数也可以先写一竖然后再画一个对吧当然有时候你要多画这么一点也行但其实已经足够了就是这样就已经足够了这就是如果想在黑板上表示出来这些
粗体我们就可以这么来那对于比如说以后我们还会学到复数集副数据我们知道它是C omplex，用大写C，如果想要表示它的话就是再多加一杠就行好那这就是今天我们的内容给大家就补充到这里如果有任何疑问或者说感想什么的都可以在评论中提出来
好的行那就今天到这里谢谢大家